華林問題

華林問題（英語：Waring's problem）是數論中的問題之一。1770年，愛德華·華林猜想，對於每個非1的正整數k，皆存在正整數g(k)，使得每個正整數都可以表示為g(k)個非負整數的k次方之和。

與四平方和定理之關係

在三世紀時，數學家丟番圖首先提出「是否每一個正整數都是四個平方數之和」的問題。1730年，歐拉開始研究該問題，但未得出證明。^[1]

第一個給出完整證明的是拉格朗日，他的證明用了歐拉的一個公式：

${\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})=(ax+by+cz+dw)^{2}+(ay-bx+cw-dz)^{2}+(az-bw-cx+dy)^{2}+(aw+bz-cy-dx)^{2}}$

後來歐拉也給出另一證明。^[1]

華林猜想

1770年，華林發表了《代數沉思錄》（Meditationes Algebraicae），其中說，每一個正整數至多是9個立方數之和；至多是19個四次方之和^[1]。還猜想，每一個正整數都是可以表示成為至多r個k次冪之和，其中r依賴於k。

研究進展

1909年，大衛·希爾伯特首先用複雜的方法證明了g(k)的存在性。1943年，U.V.林尼克給出了關於g(k)存在性的另一個證明。然而，儘管g(k)的存在性已被證明，人們尚且無法知曉g(k)與k之間的關係。華林自己推測g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。

1770年，拉格朗日證明了四平方和定理，指出g(2)=4。1909年亞瑟·韋伊費列治證明了g(3)=9。

1859年，劉維爾證明了g(4)<=53，他的想法是藉助一個恆等式（Liouville polynomial identity）：

${\displaystyle 6n^{2}=6(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{2}=\sum _{i<j}\left(x_{i}+y_{j}\right)^{4}+\sum _{i<j}\left(x_{i}-y_{j}\right)^{4}}$

後來哈代和李特爾伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉蘇布拉瑪尼安證明了g(4)=19。1896年馬力特得到g(5)<=192；1909年韋伊費列治將結果改進為g(5)<=59；1964年陳景潤證明了g(5)=37。^[2]

事實上，萊昂哈德·歐拉之子J.A.歐拉猜想：${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$（"${\displaystyle \lfloor q\rfloor }$"表示對"q"向下取整）（也就是只要看小於3^k的正整數當中，最多只需要幾個k次方數的和，就可以了，例如k=4的情形，小於81的數字當中，最多的就是79，需要19個四次方數，因此有g(4)=19）至1990年，對於6<=k<=471600000此式已經被計算機驗證為正確。^[3]

更強的問題

由於g(k)的值嚴重依賴於正整數較小時的情況^{[來源請求]}，人們提出了一個更強的問題，求對於每個充分大的正整數，可使它們分解為k次方數的個數G(k)。此問題進展較慢，至今G(3)仍無法確定。

其他推廣

華林-哥德巴赫問題

陳述：對於任何一個正整數n，是否存在一個數k，使得每個充分大的整數都可以表示為k個質數的n次冪的和？

此問題在1938年已被華羅庚證明成立。

表法數問題

任給一個正整數都是可以表為四個平方數之和。進一步，給定一個正整數，表示成為四個平方數的不同表示法有多少種？這問題已由雅可比給出了解答。

但是，對於立方和，四次方和等等的情況，仍然非常困難。^{[來源請求]}

不限於正整數

考慮用有理數的方冪和來表示正有理數。

參考資料

1. 吳振奎. 幾個與“形數”有關的問題 (PDF). 數學傳播. 2005年3月, 29 (1): 64–74 [2015-02-15]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）.
2. Weisstein, Eric W. (編). Waring's Problem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
3. JM Kubina, MC Wunderlich. Extending Waring's conjecture to 471,600,000 (PDF). Mathematics of Computation. 1, (55): 815–820 [2015-02-14]. doi:10.1090/S0025-5718-1990-1035936-6. （原始內容存檔 (PDF)於2019-11-12）. 請檢查|date=中的日期值 (幫助)