切線法

切线法是利用切线构造不等式的方法，有时会结合延森不等式。^[1]

切线法是属于试探性的方法，但使用范围比延森不等式更广，例如半凹半凸的函数${\displaystyle x^{2}+2{\sqrt {x}}}$不能使用延森不等式，但能使用切线法。^[2]

常规方法

对于${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}\in D,x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=k}$，D为给定区间，k为常数，求证${\displaystyle f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\leq (\geq )C}$

观察得取等条件为${\displaystyle x_{1}=x_{2}=...=x_{n}={\frac {k}{n}}}$时，找出${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x={\frac {k}{n}}}$处的切线函数${\displaystyle px+q}$（假设f可导），尝试证明局部不等式${\displaystyle f(x)\leq (\geq )px+q}$。^[2]

例子

已知${\displaystyle a,b,c\geq 0,a+b+c=1}$，求证${\displaystyle {\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq {\sqrt {21}}}$

猜得${\displaystyle a=b=c={\frac {1}{3}}}$时取等，构造切线使${\displaystyle {\sqrt {4a+1}}\leq pa+q}$让${\displaystyle {\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq {\sqrt {21}}}$成立。

${\displaystyle {\sqrt {4a+1}}={\sqrt {\frac {7}{3}}}}$

${\displaystyle ({\sqrt {4a+1}})'={\frac {2}{\sqrt {4a+1}}}=2{\sqrt {\frac {3}{7}}}}$

所求切线为${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}}}$

${\displaystyle (2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}})^{2}-(4a+1)={\frac {4}{21}}(3a-1)^{2}\geq 0}$证得${\displaystyle {\sqrt {4a+1}}\leq 2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq 2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a+b+c-1)+3{\sqrt {\frac {7}{3}}}={\sqrt {21}}}$^[2]

参考资料

1. 程汉波. 对“构造切线法”证明对称不等式的一点改进. 数学教学. 2013, (9) [2014-07-16]. （原始内容存档于2019-05-13）.
2. 郭子伟. 例谈不等式证明中的“切线法”及其拓展. 数学空间. 2011, (5): 第27–34页 [2014-07-16]. （原始内容存档于2016-03-04）.