完全數

完全數（perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的因數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

以古氏積木演示完全數6

例如：第一個完全數是6，它有因數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，${\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6}$，恰好等於本身。第二個完全數是28，它有因數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，${\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28}$，也恰好等於本身。後面的數是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

完全數的發現

古希臘數學家歐幾里得是通過${\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)}$ 的表達式發現前四個完全數的。

當${\displaystyle n=2:}$${\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}$

當${\displaystyle n=3:}$${\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}$

當${\displaystyle n=5:}$${\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}$

當${\displaystyle n=7:}$${\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}$

一個偶數是完美數，當且僅當它具有如下形式：${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$，其中${\displaystyle 2^{n}-1}$是質數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的${\displaystyle 6}$和${\displaystyle 28}$對應着${\displaystyle n=2}$和${\displaystyle 3}$的情況。我們只要找到了一個形如${\displaystyle 2^{n}-1}$的質數（即梅森質數），也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是${\displaystyle 12p+1}$或${\displaystyle 36p+9}$的形式，其中${\displaystyle p}$是質數。

首十個完全數是（ A000396）：

1. 6（1位）
2. 28（2位）
3. 496（3位）
4. 8128（4位）
5. 33550336（8位）
6. 8589869056（10位）
7. 137438691328（12位）
8. 2305843008139952128（19位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

歷史

古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數，第 5 個完全數應該是第 5 個質數，即當 ${\displaystyle n=11}$ 的時候，可是 ${\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89}$ 並不是質數。因此 ${\displaystyle n=11}$ 不是完全數。另外兩個錯誤假設是：

• 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。
• 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。

事實上，第五個完全數 ${\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)}$ 是 ${\displaystyle 8}$ 位數。

對於第二個假設，第五個完全數確實是以 ${\displaystyle 6}$ 結尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六個完全數 ${\displaystyle 8589869056}$，仍是以 ${\displaystyle 6}$ 結尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 ${\displaystyle 6}$ 和 ${\displaystyle 8}$ 結尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。^[1][2][3]

對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。

每一個梅森質數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森質數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月為止，共發現了 51 個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為 ${\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)}$ 共有 ${\displaystyle 49724095}$ 位數。

性質

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

• 偶完全數都是以6或28結尾^[4][5]。
• 在十二進制中，除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾，甚至除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。^{[原創研究？][查證請求][來源請求]}而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾^[6]。
• 在六進制中，除了6以外的偶完全數都以44結尾，甚至除了6, 28以外的偶完全數都以144或344結尾。^{[原創研究？][查證請求][來源請求]}而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾^[6]。
• 除了6以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是1^{[4][5][註 1]}：

${\displaystyle 28}$ → ${\displaystyle 2+8=10}$ → ${\displaystyle 1+0=1}$
${\displaystyle 496}$ → ${\displaystyle 4+9+6=19}$ → ${\displaystyle 1+9=10}$ → ${\displaystyle 1+0=1}$

• 所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和，從${\displaystyle 2^{p-1}}$到${\displaystyle 2^{2p-2}}$：

${\displaystyle 6=2^{1}+2^{2}}$
${\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}}$
${\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}}$
${\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}}$

• 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和^{[註 2]}：

${\displaystyle 6=1+2+3}$
${\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}$
${\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}$
${\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127}$

• 除6以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有${\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}}$)^{[註 3]}：

${\displaystyle 28=1^{3}+3^{3}}$
${\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$
${\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}}$
${\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}}$

• 每個完全數的所有因數（包括本身）的倒數之和，都等於2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2}$
${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2}$

• 它們的二進制表達式也很有趣：（因為偶完全數形式均如${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$）

${\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}}$
${\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}}$
${\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}}$
${\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}}$
${\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}}$
${\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}}$
${\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}}$

奇完全數

截至2024年6月30日，用計算機已經證實：在10²²⁰⁰以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含11個不同質數（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜測：奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限？至今都不能回答。

美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。^[7]

奇完全數的部分條件

• N > 10^2200[8]
• N是以下形式：

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}$

其中：

• q，p₁，…，p_k是不同的質數（Euler）。
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
• N的最小質因子必須小於${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}$^[9]。
• ${\displaystyle e_{1}}$≡${\displaystyle e_{2}}$...≡${\displaystyle e_{k}}$ ≡ 1（mod 3）的關係不能滿足（McDaniel 1970）。
• 要麼q^α > 10⁶²，要麼對於某個j有${\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}}$ > 10^62[8]。
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^[10][11]

• N必須可以寫成12n+1，468n+117或324n+81（n為整數）的形式。^[6]
• N不能被105整除。^[12]
• N的最大質因子必須大於10^8[13]，並低於 ${\displaystyle (3N)^{1/3}}$。^[14]。
• N的第二大質因子必須大於10⁴，並低於${\displaystyle (2N)^{1/5}}$。^[15][16] 。
• N的第三大質因子必須大於100。^[17]
• N至少要有101個質因子，其中至少10個是不同的。^[8][18] 如果3不是質因子之一，則至少要有12個不同的質因子。^[19]

• 如果對於所有的i，都有${\displaystyle e_{i}}$ ≤ 2，那麼：
  • N的最小質因子必須大於739（Cohen 1987）。
  • α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

圖查德定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如${\displaystyle 12m+1}$或${\displaystyle 36q+9}$。最初的證明在1953年由雅克·圖查德（英語：Jacques Touchard）首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）

• 歐拉證明了奇完全數的形式必如${\displaystyle 4j+1}$。^[20]
• ${\displaystyle \sigma (n)}$表示${\displaystyle n}$的正因數之和。完全數的定義即為${\displaystyle 2n=\sigma (n)}$。
  ${\displaystyle \sigma (n)}$為積性函數
• 引理（甲）：若${\displaystyle n=6k-1}$（${\displaystyle k}$是正整數），則${\displaystyle n}$非完全數。
• 引理（乙）：若${\displaystyle n=4k-1}$（${\displaystyle k}$是正整數），則${\displaystyle n}$非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設${\displaystyle n}$為完全數，且${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}}$。

${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}}$。因為3的二次剩餘只有0,1，故${\displaystyle n}$非平方數，因此其正因數個數為偶數。

${\displaystyle n}$有正因數${\displaystyle d}$，則可得：

${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {3}}}$且${\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {3}}}$；或

${\displaystyle d\equiv -1{\pmod {3}}}$且${\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {3}}}$。

因此，${\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}}$。故${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}}$。

但${\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}}$，矛盾。

故${\displaystyle n}$的形式只可能為${\displaystyle 6k+1}$或${\displaystyle 6k+3}$。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設${\displaystyle n}$為完全數，且${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}$。

${\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}$。因為4的二次剩餘只有0,1，故${\displaystyle n}$非平方數，因此其正因數個數為偶數。

${\displaystyle n}$有正因數${\displaystyle d}$，則可得：

${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}}$且${\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4}}}$；或

${\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4}}}$且${\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4}}}$。

因此，${\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}}$。故${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}}$。

但${\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}}$，矛盾。

故${\displaystyle n}$的形式只可能為${\displaystyle 4k+1}$。

若${\displaystyle n=6k+1}$，根據歐拉的結果，${\displaystyle n=4j+1}$，綜合兩者，得${\displaystyle n=12m+1}$。

若${\displaystyle n=6k+3}$，${\displaystyle n=4j+1}$，得${\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)}$。若${\displaystyle m}$非3的倍數，3和${\displaystyle 4m+3}$互質。

因為${\displaystyle \sigma (n)}$為積性函數，可得${\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}}$。

但${\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}}$，出現了矛盾。故知${\displaystyle m}$是3的倍數。代入${\displaystyle m=3q}$，可得${\displaystyle n=36q+9}$。

參考

• Odd Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Gagan Tara Nanda

註釋

1. 亦即，除了6以外的偶完全數，被9除都餘1。
2. 亦即，每個偶完全數都是三角形數。
3. 這是因為${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)}$。

參考資料

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2. Pickover, C. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. 2001: 360 [2021-11-08]. ISBN 0-19-515799-0. （原始內容存檔於2022-03-22）.
3. Peterson, I. Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. 2002: 132 [2021-11-08]. ISBN 88-8358-537-2. （原始內容存檔於2021-11-08）.
4. H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
5. Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 25.
6. Roberts, T. On the Form of an Odd Perfect Number (PDF). Australian Mathematical Gazette. 2008, 35 (4): 244 [2021-03-15]. （原始內容存檔 (PDF)於2013-05-14）.
7. 存档副本. [2006-07-26]. （原始內容存檔於2006-12-29）.
8. Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 10¹⁵⁰⁰ (PDF). Mathematics of Computation. 2012, 81 (279): 1869–1877 [2021-11-03]. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . （原始內容 (PDF)存檔於2016-01-15）.
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20. [1]^{[永久失效連結]}

參見

• 高合成數
• 婚約數
• 親和數
• 盈數
• 虧數
• 梅森質數
• 半完全數
• 佩服數
• 超完全數
• 梅森質數與完全數集合
• 笛卡爾數

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Perfect number, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Perfect numbers – History and Theory（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 埃里克·韋斯坦因. Perfect Number. MathWorld.
• Sloane, N.J.A. (編). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
• Great Internet Mersenne Prime Search^{[永久失效連結]}
• Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, math forum at Drexel.
• Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. （原始內容存檔於2013-05-31）.