反證法

提示：此條目頁的主題不是可反證性。

反證法^[1]（英語：proof by contradiction）又稱背理法，是一種論證方式，他首先假設某命題成立（即在原命題的條件下，結論不成立），然後推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證。

反證法與歸謬法相似，但歸謬法不僅包括推理出矛盾結果，也包括推理出不符事實的結果或顯然荒謬不可信的結果。

理據

給出命題 ${\displaystyle p}$ 和命題 ${\displaystyle {\bar {p}}}$（非 ${\displaystyle p}$），根據排中律，兩者之中起碼有一個是真（更強的說法為，除了真和假之外並無其他的情況），所以如果其中一個是假的，另一個就必然是真。給出命題 ${\displaystyle q}$ 和命題 ${\displaystyle {\bar {q}}}$（非 ${\displaystyle q}$），根據無矛盾律，兩者同時為真的情況為假。給出命題 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 和 ${\displaystyle r}$，根據否定後件律，如果若 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 成立時出現 ${\displaystyle r}$，則 ${\displaystyle r}$ 為假時 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 即為假。反證法在要證明 ${\displaystyle p}$ 時，透過顯示出若 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 成立時出現矛盾（${\displaystyle q}$ 和 ${\displaystyle {\bar {q}}}$），即 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 為假，從而證明 ${\displaystyle p}$ 為真。

例子

2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是無理數的證明（古希臘人）

證明：假設${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理數，那麼可以寫成 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ 的形式，其中 ${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$ 皆為正整數且 ${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$ 互質。那麼有

• ${\displaystyle p={\sqrt {2}}\times q}$
• ${\displaystyle p^{2}=2\times q^{2}}$

可得 ${\displaystyle p^{2}}$是偶數。而只有偶數的平方才是偶數，所以 ${\displaystyle p}$ 也是偶數。因此可設 ${\displaystyle p=2s}$，從而 ${\displaystyle p^{2}=4s^{2}}$，代入上式，得：${\displaystyle q^{2}=2s^{2}}$。所以 ${\displaystyle q^{2}}$也是偶數，故可得 ${\displaystyle q}$ 也是偶數。這樣 ${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$ 都是偶數，不互質，這與假設 ${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$ 互質矛盾，假設不成立。因此${\displaystyle {\sqrt {2}}}$為無理數。

其他可用反證法證明的例子

數學上有許多的定理可用反證法來證明，以下是一小部分的例子：

1. 證明有無限多個質數。
2. 任意6人當中，求證或者有3人兩兩相識，或者有3人互不相識。
3. 現有90張紙，每張紙都寫有一個非負整數，已知這90個數之和小於1980，證明至少有三張數目相同的紙。
4. 集合 ${\displaystyle S=\{x:0<x<1\}}$ 沒有最小值。
5. 設 ${\displaystyle n}$ 是大於1的整數，若所有小於或等於${\displaystyle {\sqrt {n}}}$的質數都不能整除 ${\displaystyle n}$，則 ${\displaystyle n}$ 是質數。
6. 已知三角形ABC是銳角三角形，且${\displaystyle \angle A>\angle B>\angle C}$。求證：${\displaystyle \angle B>45^{\circ }}$。
7. 已知 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$ 為正實數，求證：${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$。
8. 已知 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$ 是實數，且${\displaystyle ad-bc=1}$，求證：${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+cd\neq 1}$。
9. 一個群若同時是交換群和單群，則該群是循環群
10. 若一個循環群是單群，則該群的階為質數
11. 若一個循環群的階為質數，則該群為單群
12. 鴿籠原理

引文

• 英國數學家高德菲·哈羅德·哈代在他的文章《一個數學家的辯白》描述：「歐幾里得最喜歡用的反證法，是數學家最精良的武器。它比起棋手所用的任何戰術還要好：棋手可能需要犧牲一隻兵甚至更多，但數學家卻是犧牲整個棋局來獲得勝利。」

相關條目

• 歸謬法
• 排中律
• 直覺主義邏輯：一種不承認排中律的邏輯系統
• 數學構成主義
• 可反證性

參考

1. https://terms.naer.edu.tw/detail/b6c4105c64165755ca6ac0f69d871c71/?seq=1

進一步閱讀

• J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6