單純群

數學上的單純群（英語：Simple group）是指沒有非平凡正規子群的群。任意一個群如果不是單純群，都可以作進一步分解而得到一個非平凡正規子群及對應的商群。這個過程可以一直做下去。對於有限群，若爾當-赫爾德定理表明，這個分解過程可以得到該群的唯一的合成列（最多相差一個置換）。在2008年完成的有限單群分類工作是數學史上一個重要的里程碑。

此條目介紹的是沒有非平凡正規子群的群。關於比群更廣義的結構，請見「么半群」。

群論
群
基本概念 子群 · 正規子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直積 · 直和 單純群 · 有限群 · 無限群 · 拓撲群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 離散群 有限單群分類 循環群 Zn 交錯群 An 李型群 散在群 馬蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 揚科群 J1..4 費歇爾群（英語：Fischer group）F22..24 子魔群（英語：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 對稱群, Sn 二面體群, Dn 無限群 整數, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 連續群 李群 一般線性群 GL(n) 特殊線性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 么正群 U(n) 特殊么正群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 龐加萊群 無限維群 共形群 微分同胚群 環路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代數群 橢圓曲線 線性代數群（英語：Linear algebraic group） 阿貝爾簇（英語：Abelian variety）
閱 論 編

定義

設 ${\displaystyle (G,*)}$ 為群，如果其內的正規子群只有 ${\displaystyle G}$ 本身與單位元素${\displaystyle e}$組成的群（平凡群）${\displaystyle \{e\}}$，則稱之為單純群。

例子

有限單純群

循環群G = Z/3Z，即模3的同餘類在加法運算下形成的群是單純群。這是因為，若H是這個群的一個子群，則它的階一定是群G的階3的因數，因為3是質數，所以H只能是G或者平凡群。另一方面，群G=Z/12Z就不是單純群。因為任意阿貝爾群的子群一定是正規子群，且12為合數，故很容易找到它的一個非平凡正規子群。例如，由模12餘0，4，8的同餘類組成的子群就是它的一個階為3的正規子群。類似地，整數集 Z 與加法運算組成的群也不是單純群，由偶數集2Z和加法組成的群是它的一個非平凡正規子群^[1]。

按照上面的方法可以證明，阿貝爾單純群只有質數階循環群。最小的非阿貝爾單純群是交錯群 ${\displaystyle A_{5}}$ ，它的階是60，而且可以證明每一個階為60的單純群都與 ${\displaystyle A_{5}}$ 同構^[2]。第二小的非阿貝爾單純群是射影特殊線性群${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$ ，它的階是168。可以證明，階為168的單純群都與 ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$ 同構^[3][4]。

${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$是有限體上的古典群的一個例子，它也是一個有限階李群。除了質數階循環群、交錯群和有限階李群（包括古典群和例外或纏繞李群）之外的有限單純群統稱為散在群，詳見有限單純群分類。

無限階單純群

無限階交錯群，即由整數的所有偶置換組成的群${\displaystyle A_{\infty }}$是單純群。另一個無限階單純群的例子是域${\displaystyle F}$上的射影特殊線性群${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(F)}$，其中 ${\displaystyle n\geq 3}$。

相比之下，要構造有限生成的無限階單純群就困難得多，最早的例子由格雷厄姆·希格曼（英語：Graham Higman）提出，它是希格曼群（英語：Higman group）的子群^[5]。 其它的例子包括湯普森群 T 和 V。有限表現無撓(torsion-free)的無限單純群被伯格-莫澤什(Burger-Mozes)構建。^[6]

分類

到目前為止，未有對一般單純群進行分類的方法。

有限單純群

主條目：有限單純群分類

有限單純群是很重要的，因為在一定意義上，它們是所有有限群的「基本組成部分」，有點類似於質數是整數的基本組成部分。

有限單純群的結構

法伊特-湯普森定理聲稱，所有的奇數階群都是可解群。 因此，除質數階循環群外，所有有限單純群的階都是偶數。

群的非單性判據

西羅測試：設n為一正合數，p是它的一個質因子。 若在n的所有因數中只有 1 模p同餘於 1，則不存在階為n的單純群。

證明：如n為一質數冪，則階數為n的群有非平凡的中心^[7]，因而不是單純群。若n不是質數冪，則階數為n的群的每一個西羅子群都是真子群，由西羅第三定理可知， 階數為n的群的西羅p-子群的個數模p同餘於1且為n的因數。但由上面的假設，這樣的數只有1，這表明該群只有一個西羅p-子群，因此，根據西羅定理，該西羅子群是正規子群。根據上面的討論，它又是一個真子群，從而它是階數為n的群的一個非平凡正規子群，所以階數為n的群不是單純群。

另一個證明一個群不是單群的方法是利用同態映射，因為對於一個群${\displaystyle G}$而言，其子群${\displaystyle H}$是正規子群，當且僅當${\displaystyle H}$是某個關於${\displaystyle G}$的同態映射的核。

重要性

「單純群」之「單」在於它們不能再化約為較容易處理的群，因為正規子群 ${\displaystyle H}$ 可以對將 ${\displaystyle G}$ 的一部分研究化約為對商群 ${\displaystyle G/H}$ 與 ${\displaystyle H}$ 的研究，而對單純群無法行此化約。

有限單純群之於有限群論，一如質數之於整數論；它們可以被視為有限群的基本構件。

參閱

• 特徵單純群（英語：Characteristically simple group）
• 准單純群（英語：Quasisimple group）
• 有限單純群列表（英語：List of finite simple groups）

參考文獻

1. Knapp (2006), p. 170
2. Rotman (1995), p. 226
3. Rotman (1995), p. 281
4. Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
5. Higman, Graham, A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 1951, 26 (1): 61–64, ISSN 0024-6107, MR 0038348, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59
6. M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." Publ. Math. IHES 92 (2000), pp.151–194.
7. 例如，參見P-群里的證明

教科書

• Knapp, Anthony W., Basic algebra, Springer, 2006, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics 148, Springer, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8
• Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga, Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series 2, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-235-8

外部連結

• simplicity of the alternating groups. PlanetMath.