在幾何學 中，扭稜 是一種多面體變換。該術語起源於刻卜勒 對阿基米德立體 的命名，分別為扭棱立方體 （英語：snub cube 、拉丁語 ：cubus simus ）和扭棱十二面體 （英語：snub dodecahedron 、拉丁語 ：dodecaedron simum ）[ 1] [ 2] [ 3] :99
立方體 經由康威 扭稜成扭棱立方體 過程的動畫扭棱立方體 的兩種手性鏡像，其為截角截半立方體 經交錯 變換後的像透過旋轉小斜方截半立方體 的正方形面直到12個白色正方形變成成對的正三角形面即可構造一個扭棱立方體 考克斯特 對扭稜進行了推廣，推廣成能用於更廣泛的均勻多面體，其定義略有不同。
康威 研究了廣義的多面體變換，定義了現在稱為康威多面體表示法 的多面體變換表示法，其可以運用在多面體 和各種鑲嵌 或密鋪 的幾何形狀 。康威稱考克斯特 定義的扭稜變換為半扭稜變換。[ 5]
在康威多面體表示法 中，扭稜變換（康威表示法 ：s）被定義為陀螺變換（英語：gyro ，康威表示法 ：g，為每個n邊形面被切割成n個五邊形的多面體變換）的對偶多面體 （康威表示法 ：d），即康威表示法s = dg = dgd[ 6] 交替 截角。康威表示法 本身避免了考克斯特 的交錯 （半）變換，因為它僅適用於僅具有偶數邊數的面之多面體。
More information 扭稜的形式, 多面體 ...
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在四維空間中，康威建議將扭稜二十四胞體 交替 的全截（omnitruncation，即先截半再截角）的形式，而扭稜二十四胞體並非是正二十四胞體 交替的全截的形式。事實上，扭稜二十四胞體是交替 截角 的正二十四胞體[ 7]
從正八面體 經由考克斯特扭稜變換，變換為扭稜八面體的連續動畫 考克斯特扭稜的定義略有不同，其將扭稜定義為截角 後交錯 ，在這個定義下，扭稜立方體 被視為扭稜後的截半立方體 、扭棱十二面體 被視為扭稜後的截半十二面體 。在這種定義下命名的詹森多面體 有扭稜鍥形體 和扭稜四角反角柱 。這種命名在高維多胞體中也有所使用，如擴展施萊夫利符號 記為s{3,4,3} ，並在考克斯特—迪肯符號 扭稜二十四胞體 [ 8]
一個正多面體或鑲嵌若在施萊夫利符號 記為
{
p
,
q
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}
考克斯特—迪肯符號 截角 後的像施萊夫利符號 記為
t
{
p
,
q
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}
考克斯特—迪肯符號 施萊夫利符號 記為
h
t
{
p
,
q
}
=
s
{
p
,
q
}
{\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}
q [ 9]
一個擬正多面體 若在施萊夫利符號 記為
{
p
q
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}
r {p ,q }截角 的像施萊夫利符號 記為
t
{
p
q
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}
tr {p ,q }
h
t
{
p
q
}
=
s
{
p
q
}
{\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}
htr {p ,q }sr {p ,q }
例如，以刻卜勒 的扭棱立方體 是扭稜自擬正 的截半立方體 ，而截半立方體的豎式施萊夫利符號 記為
{
4
3
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}
[ 10] 考克斯特—迪肯符號 扭棱立方體 的豎式施萊夫利符號 記為
s
{
4
3
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}
[ 11] 截角截半立方體 ，截角截半立方體的豎式施萊夫利符號 記為
t
{
4
3
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}
[ 12] [ 13]
頂點分支度為偶數的正多面體也可以進行截角後交錯的扭稜，例如扭稜八面體，施萊夫利符號
s
{
3
,
4
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}
交錯 的截角八面體 施萊夫利符號
t
{
3
,
4
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}
[ 14] 偽二十面體 ，一個拓樸與正二十面體 完全相同但具備五角十二面體群對稱性的立體[ 15]
考克斯特扭稜也允許將反稜柱 的施萊夫利符號 定義為
s
{
2
n
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}
[ 16] :403 或
s
{
2
,
2
n
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}
t
{
2
n
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}
t
{
2
,
2
n
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}
{
2
,
n
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}
n面形 ，其可以視為由二角形 鑲嵌球面的幾何結構。
More information
扭稜多面形 , {2,2p}
圖像
考克斯特
施萊夫利
s{2,4}
s{2,6}
s{2,8}
s{2,10}
s{2,12}
s{2,14}
s{2,16} s{2,∞}
sr{2,2}
s
{
2
2
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}
sr{2,3}
s
{
2
3
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}
sr{2,4}
s
{
2
4
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}
sr{2,5}
s
{
2
5
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}
sr{2,6}
s
{
2
6
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}}
sr{2,7}
s
{
2
7
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}}
sr{2,8}...
s
{
2
8
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}}
sr{2,∞}
s
{
2
∞
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}}
康威
A2 = T
A3 = O
A4
A5
A6
A7
A8...
A∞
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非均勻多面體也可以扭稜，但需要滿足考克斯特扭稜的條件。考克斯特扭稜只能作用在頂點分支度全為偶數的立體上[ 13] 多面體 的扭稜，包括了無窮集合的立體。例如：
More information 扭稜雙四角錐, 扭稜雙六角錐 ...
扭稜雙錐體 sdt{2,p}
扭稜雙四角錐
扭稜雙六角錐
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扭稜截半雙錐體 srdt{2,p}
扭稜均勻星形多面體由其施瓦茨三角形 (p q r)構造，具有合理有序的鏡像對稱角，且所有鏡像都處於活動和交替的狀態[ 17]
扭稜的均勻星形多面體
s{3/2,3/2} s{(3,3,5/2)} sr{5,5/2} s{(3,5,5/3)} sr{5/2,3}
sr{5/3,5} s{(5/2,5/3,3)} sr{5/3,3} s{(3/2,3/2,5/2)}
s{3/2,5/3}
More information 原像, 截角 ...
多面體變換
原像
截角 截半 過截角 對偶
擴展 全截 交錯
半變換
扭稜
t0 {p,q}
t01 {p,q} t1 {p,q} t12 {p,q} t2 {p,q} t02 {p,q} t012 {p,q} ht0 {p,q} ht12 {p,q} ht012 {p,q}
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Conway, (2008)[ 4] Conway, (2008)[ 4] Klitzing, Richard. Snubs, Alternated Facetings, & Stott-coxeter-dynkin Diagrams. Symmetry-Culture and Science (Symmetrion 29 etvs st, budapest, 1067, hungary). 2010, 21 (4): 329–344.
Heckman, Gert, coxeter groups (PDF) , 2018 [2022-08-25 ] , （原始內容存檔 (PDF) 於2022-02-21） John Baez. Fool's Gold . 2011-09-11 [2022-08-25 ] . （原始內容存檔 於2018-05-19）.
Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes , (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 154–156 8.6 Partial truncation, or alternation)Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter , edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份 ，存於互聯網檔案館 ）, Googlebooks [2]
(Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
(Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
(Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
(Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45] Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuscript (1991)
N.W. Johnson The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 埃里克·韋斯坦因 . Snubification . MathWorld . 
, 
...
或
or 
。[13]
...
...
