無窮(英語:infinity,又稱無限大),來自於拉丁文的「infinitas」,即「沒有邊界」的意思。其數學符號為∞。它在科學神學哲學數學和日常生活中有着不同的概念。通常使用這個詞的時候並不涉及它的更加技術層面的定義。

各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

不同字體下的∞符號

在神學方面,根據書面記載無窮這個符號最早被用於某些秘密宗教,通常代表人類中的神性,而書寫此符號時兩圓的不對等代表人神間的差距,例如神學家鄧斯·司各脫(Duns Scotus)的著作中,上帝的無限能量是運用在無約束上,而不是運用在無限量上。在哲學方面,無窮可以歸因於空間和時間。在神學和哲學兩方面,無窮又作為無限,很多文章都探討過無限、絕對、上帝和芝諾悖論等的問題。

在數學方面,無窮與下述的主題或概念相關:數學的極限阿列夫數集合論中的戴德金無限集合英語Dedekind-infinite set羅素悖論超實數射影幾何擴展的實軸以及絕對無限。在一些主題或概念中,無窮被認為是一個超越邊界而增加的概念,而不是一個數。

歷史

早期無限的觀點

最早關於無限的記載出現在印度夜柔吠陀(公元前1200-900)。書中說:「如果你從無限中移走或添加一部分,剩下的還是無限。」

印度耆那教的經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC)把數分作三類:「可計的」、「不可計的」及「無限」。每一類再細分成三種階:

  • 可計的:小的、中的與大的。
  • 不可計的:接近不可計的、真正不可計的、沒有方法去計的,以及無限也包括在內。
  • 無限:接近無限、真正無限與無窮無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿(Archimedes Palimpsest英語Archimedes Palimpsest),在殘卷《方法》命題14中,發現阿基米德開始計算無窮大的數目。他採取近似於19世紀微積分集合論的手法,計算了兩組無窮大的集合,以求和的方法,證明它們之間的數目是相等的。

這是在人類記載上第一次出現無限也可以分類這一個念頭。

文藝復興時代至近代

伽利略最先發現一個集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。

他用上一一對應的概念說明自然數集{1, 2, 3, 4, ...}跟子集平方數集{1, 4, 9, 16, ...}一樣多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一對應正是用於研究無限必要的手法。

數學中的無窮

無限大的符號

無限大的符號是,其UnicodeU+221E INFINITY,在LaTeX中表示為\infty

無限大的符號是1655年由約翰·沃利斯開始使用[1][2],在開始使用後,也用在數學以外的領域,例如現代神祕主義[3]及符號學[4]

微積分及實分析中的無窮

萊布尼茨是提出許多有關其在數學中應用的猜測。對萊布尼茨而言,無窮大和無窮小量都是理想的實體,和一般數值的本質不同,不過有類似的性質[5][6]

實分析中,符號稱為「無窮大」,代表無界極限表示超出任意給定值,表示最終小於任意給定值。

一函數積分的結果可能會是無限大,若對於所有的tf(t) ≥ 0,則[7]

  • 意思是f(t) 在的範圍內,其面積是無限大。
  • 意思是在f(t)以下的總面積無限大。
  • 意思是在f(t)以下的總面積是有限的,且總面積等於

無窮大也可以用來描述無窮級數

  • 意思是無窮級數的和會收斂到某一定值
  • 意思是無窮級數的和會發散

若將標記為的點加入到實數組成的拓撲空間,就產生實數集的「兩點緊致化」。再加入代數屬性,就得到了擴展的實數軸。也可將作為一個點,記作,並得到實數的「一點緊致化」,也就是實射影線英語Real projective line射影幾何在平面幾何上引入無窮遠線,在高維上也有類似概念。

複變分析中的無窮

複變分析中符號是指沒有正負號的極限值是指x的大小 會超過任意給定的數值。可以在複數平面上加上無窮遠點,變成一個拓撲空間,即為複數平面的一點緊化。若完成後,所得的平面是一維的複流形黎曼曲面,稱為黎曼球面。也可以定義在其上的代數運算(不過有一個例外,無限大不能和本身相加)。另一方面,有無限大表示可以除以零,而對於任何不為0的複數z,因此可以將亞純函數對映到黎曼球面上,只要將極點對應到無窮遠點即可。複變函數的定義域也可以加入無窮遠點,例如莫比烏斯轉換的函數。

無窮大和無窮小

一般講無窮指的都是無窮大,但是無窮小也是一種無窮。通過的映射即可把無窮大映射為無窮小。在微積分中,常用高階無窮小的概念。

無窮遠點

無窮遠點是一個加在實軸上後得到實射影直線的點。

集合論中的無窮

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無窮集合和其真子集的一對一對應

集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出,對應於不同無窮集合的元素的個數(基數),有不同的「無窮」。

這裏比較不同的無窮的「大小」的時候,唯一的辦法就是通過是否可以建立「一一對應關係」來判斷,而拋棄了歐幾里得「整體大於部分」的看法。例如整數集自然數集由於可以建立一一對應的關係,它們就具有相同的基數

例如,

  • 可數集合,如自然數集整數集乃至有理數集對應的基數被定義為(阿列夫零)。
  • 可數集合「大」的稱之為不可數集合,如實數集,其基數與自然數的冪集相同,為
  • 由於一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數,所以通過構造一系列的冪集,可以證明超窮基數的個數是無窮的。然而有趣的是,超窮基數的個數比任何基數都多,從而它是一個比任何無窮大都要大的「無窮大」,它不能對應於一個基數,否則會產生某種形式的康托爾悖論

幾何學和拓撲學

無限的空間常用在幾何學拓撲學中,尤其是在分類空間英語classifying space,也就是Eilenberg−MacLane空間英語Eilenberg−MacLane space。常見的例子包括無限維的複射影空間英語complex projective spaceK(Z,2),以及無限維的實射影空間K(Z/2Z,1)。

分形

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科赫曲線的前四次迭代

分形的結構可以重覆的放大,分形可以無限次的放大,但不會變的圓滑,而且仍維持原有的結構,分形的周長是無限的,有些的面積無限,但有些的面積卻是有限。像科赫曲線就是有無限周長和有限面積的例子。

沒有無窮的數學

利奧波德·克羅內克懷疑無限的概念,也懷疑1870年代及1880年代時數學家使用無限的方式。這種懷疑主義形成一種稱為有限主義數學哲學,是屬於數學結構主義數學直覺主義中的一種極端形式[8]

物理中的無窮

在物理上,實數的近似會用在連續量英語Continuum (theory)的量測上,自然數的近似會用在離散的量測上。因此科學家假設沒有可觀察量會到無窮的數值[來源請求],這是因為科學家很自然的,事實上已經是默認的接受了這樣的事情:即在真實的物理場景里,是不存無窮大的可觀測物理量的。例如在擴展的實軸上取一個無窮的值,或是需要計算某個無窮次事件的次數。因此會預設沒有任何物體會有無窮的質量或是能量。有些事物的概念和無限有關,例如無限平面波,但現今尚沒有方法可以由實驗產生無限平面波[9]

電腦計算中的無窮

IEEE 754浮點數標準中定義了正無限大及負無限大,定義為溢位除以零或其他異常程序的結果。

Java[10]J語言[11]程式語言允許在程式中直接用類似常數的方式存取正負無限大。正負無限大可以作為最大元,因為比所有其他的數都大(或是小)。正負無限大也可以做為像排序搜尋窗函數演算法中的哨兵值英語sentinel value,找到這個值時可以結束計算。

在一些沒有最大或最小元素,但允許關係運算子多載的程式語言中,程式設計師也可以「創建」最大及最小元素。若語言不允許直接存取最大或最小元素,但有浮點數的形態,也可以用特定的運算產生正負無限大,再進行其他處理。

微軟Visual Studio 用無窮大符號作為圖標

藝術及認知科學中的無窮

透視藝術使用了消失點或是無窮遠點的概念.也就是放在觀察者無窮遠處的一個點。因此畫家可以繪製有現實感空間及距離的作品[12]。藝術家莫里茨·科內利斯·埃舍爾就常將無窮的概念用在他的作品中。

認知科學家喬治·萊考夫將數學及科學中無限的概念視為一個隱喻。這個觀點是基於簡單的無限隱喻,定義為一直遞增的數列<1,2,3,...>。

無限的符號常浪漫的表示永恆的愛,許多現代的珠寶就在其造型中加入無限的符號。

Crypton Future Media角色主唱系列中 CV-03 巡音流歌的人物形象即包含無窮大的符號以象徵「循環、巡迴」之意。

相關條目

參考資料

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