高斯整數

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$，是個不可以轉成有序環的歐幾里得整環。

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$

高斯整數是複數面上的整點。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有盡小数 無盡小数 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

高斯整數的範數都是非負整數，定義為

${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w)}$

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$單位元素${\displaystyle 1,-1,i,-i}$的範數均為${\displaystyle 1}$。

高斯整環

高斯整數形成了一個唯一分解整環，其可逆元素為${\displaystyle 1,-1,i,-i}$。

質元素

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$的質元素又稱為高斯質數。

高斯整數${\displaystyle a+bi}$是質數當且僅當：

• ${\displaystyle a,b}$中有一個是零，另一個是形為${\displaystyle 4n+3}$或其相反數${\displaystyle -(4n+3)}$的質數

或

• ${\displaystyle a,b}$均不為零，而${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$為質數。

高斯質數的分佈

以下給出這些條件的證明。

必要條件的證明為：僅當高斯整數的範數是質數，或質數的平方時，它才是高斯質數。這是因為對於任何高斯整數${\displaystyle g}$，${\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)}$。現在，${\displaystyle N(g)}$是整數，因此根據算術基本定理，它可以分解為質數${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$的乘積。根據質數的定義，如果${\displaystyle g}$是質數，則它可以整除${\displaystyle p_{i}}$，對於某個${\displaystyle i}$。另外，${\displaystyle {\overline {g}}}$可以整除${\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}}$，因此${\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}}$。於是現在只有兩種選擇：要麼${\displaystyle g}$的範數是質數，要麼是質數的平方。

如果實際上對於某個質數${\displaystyle p}$，有${\displaystyle N(g)=p^{2}}$，那麼${\displaystyle g}$和${\displaystyle {\overline {g}}}$都能整除${\displaystyle p^{2}}$。它們都不能是可逆元素，因此${\displaystyle g=pu}$，以及${\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}}$，其中${\displaystyle u}$是可逆元素。這就是說，要麼${\displaystyle a=0}$，要麼${\displaystyle b=0}$，其中${\displaystyle g=a+bi}$。

然而，不是每一個質數${\displaystyle p}$都是高斯質數。${\displaystyle 2}$就不是高斯質數，因為${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$。高斯質數不能是${\displaystyle 4n+1}$的形式，因為根據費馬平方和定理，它們可以寫成${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$的形式，其中${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是整數，且${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$。剩下的就只有形為${\displaystyle 4n+3}$的質數了。

形為${\displaystyle 4n+3}$的質數也是高斯質數。假設${\displaystyle g=p+0i}$，其中${\displaystyle p=4n+3}$是質數，且可以分解為${\displaystyle g=hk}$。那麼${\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)}$。如果這個分解是非平凡的，那麼${\displaystyle N(h)=N(k)=p}$。但是，任何兩個平方數的和都不能寫成${\displaystyle 4n+3}$的形式。因此分解一定是平凡的，所以${\displaystyle g}$是高斯質數。

類似地，${\displaystyle i}$乘以一個形為${\displaystyle 4n+3}$的質數也是高斯質數，但${\displaystyle i}$乘以形為${\displaystyle 4n+1}$的質數則不是。

如果${\displaystyle g}$是範數為質數的高斯整數，那麼${\displaystyle g}$是高斯質數。這是因為如果${\displaystyle g=hk}$，那麼${\displaystyle N(g)=N(h)N(k)}$。由於${\displaystyle N(g)}$是質數，因此${\displaystyle N(h)}$或${\displaystyle N(k)}$一定是1，所以${\displaystyle h}$或${\displaystyle k}$一定是可逆元素。

作為整閉包

高斯整數環是${\displaystyle \mathbf {Z} }$在高斯有理數域中的整閉包，由實數部分和虛數部分都是有理數的複數組成。

作為歐幾里德環

在圖中很容易看到，每一個複數與最近的高斯整數的距離最多為${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$個單位。因此，${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$是一個歐幾里德環，其中${\displaystyle v(z)=N(z)}$。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如${\displaystyle \langle a+bi\rangle }$。若${\displaystyle (a,b)=1}$，則對應的商是：

${\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}$^[1]

未解決的問題

高斯圓問題是中心為原點、半徑為給定值的圓內有多少格點的問題。它本身並不是關於高斯整數的，但等價於確定範數小於某個給定值的高斯整數的數目。

關於高斯整數，還有一些猜想和未解決的問題，例如：

實數軸和虛數軸含有無窮多個高斯質數${\displaystyle 3,7,11,19,\dots }$。在複數平面上，還存在任何其它的直線上有無窮多個高斯質數嗎？特別地，實數部分為${\displaystyle 1}$的直線上存在無窮多個高斯質數嗎？

在高斯質數上行走，步伐小於某個給定的值，可以走到無窮遠嗎？

參見

• 艾森斯坦整數
• 費馬平方和定理
• 二次互反律

參考文獻

1. 存档副本. [2022-01-01]. （原始內容存檔於2015-09-23）.

• C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
• 從數到環：環論的早期歷史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
• Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5