的質元素又稱為高斯質數。
高斯整數
是質數當且僅當:
中有一個是零,另一個是形為
或其相反數
的質數
或
均不為零,而
為質數。
高斯質數的分佈
以下給出這些條件的證明。
必要條件的證明為:僅當高斯整數的範數是質數,或質數的平方時,它才是高斯質數。這是因為對於任何高斯整數
,
。現在,
是整數,因此根據算術基本定理,它可以分解為質數
的乘積。根據質數的定義,如果
是質數,則它可以整除
,對於某個
。另外,
可以整除
,因此
。於是現在只有兩種選擇:要麼
的範數是質數,要麼是質數的平方。
如果實際上對於某個質數
,有
,那麼
和
都能整除
。它們都不能是可逆元素,因此
,以及
,其中
是可逆元素。這就是說,要麼
,要麼
,其中
。
然而,不是每一個質數
都是高斯質數。
就不是高斯質數,因為
。高斯質數不能是
的形式,因為根據費馬平方和定理,它們可以寫成
的形式,其中
和
是整數,且
。剩下的就只有形為
的質數了。
形為
的質數也是高斯質數。假設
,其中
是質數,且可以分解為
。那麼
。如果這個分解是非平凡的,那麼
。但是,任何兩個平方數的和都不能寫成
的形式。因此分解一定是平凡的,所以
是高斯質數。
類似地,
乘以一個形為
的質數也是高斯質數,但
乘以形為
的質數則不是。
如果
是範數為質數的高斯整數,那麼
是高斯質數。這是因為如果
,那麼
。由於
是質數,因此
或
一定是1,所以
或
一定是可逆元素。