艾森斯坦整數

艾森斯坦整數是具有以下形式的複數：

${\displaystyle z=a+b\omega \,\!}$

艾森斯坦整數是複數平面上三角形點陣的交點。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有盡小数 無盡小数 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

其中a和b是整數，且

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{\frac {2\pi i}{3}}}$

是三次單位根。艾森斯坦整數在複數平面上形成了一個三角形點陣。高斯整數則形成了一個正方形點陣。

性質

艾森斯坦整數在代數數體${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$中形成了一個代數數的交換環。每一個z = a + bω都是首一多項式

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!}$

的根。特別地，ω滿足以下方程：

${\displaystyle {{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0}$

因此，艾森斯坦整數是代數數。

艾森斯坦整數的範數是它的絕對值的平方，由以下的公式給出：

${\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}$

因此它總是整數。由於：

${\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!}$

因此非零艾森斯坦整數的範數總是正數。

艾森斯坦整數環中的可逆元素群，是複數平面中六次單位根所組成的循環群。它們是：

{±1, ±ω, ±ω²}

它們是範數為一的艾森斯坦整數。

艾森斯坦質數

設x和y是艾森斯坦整數，如果存在某個艾森斯坦整數z，使得y = z x，則我們說x能整除y。

它是整數的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸質數的概念：一個非可逆元素的艾森斯坦整數x是艾森斯坦質數，如果它唯一的因子是ux的形式，其中u是六次單位根的任何一個。

我們可以證明，任何一個被3除餘1的質數都具有形式x²−xy+y²，因此可以分解為(x+ωy)(x+ω²y)。因為這樣，它在艾森斯坦整數中不是質數。被3除餘2的質數則不能分解為這種形式，因此它們也是艾森斯坦質數。

任何一個艾森斯坦整數a + bω，只要範數a²−ab+b²為質數，那麼就是一個艾森斯坦質數。實際上，任何一個艾森斯坦整數要麼就是這種形式，要麼就是一個可逆元素和一個被3除餘2的質數的乘積。

歐幾里德域

艾森斯坦整數環形成了一個歐幾里德域，其範數N由以下的公式給出：

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}$

這是因為：

${\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}$

參見

• 高斯整數

參考文獻

• Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
• Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
• Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
• Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

外部連結

• MathWorld （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）