奇異點 (數學)

在數學中，奇異點或奇點（英語：Singularity），是數學物件中無法定義的點。一般來說，可以分成兩種狀況：

• 這個點的值在數學上沒有定義。例如，一個除以零的點。函數${\displaystyle f(x)=1/x}$在${\displaystyle x=0}$的點，是一個奇異點；這個點有個性質－它趨向於無限。然而，在數學中，無限的值是沒有定義的。在物理中，也儘量避免或除去導致無限的點，雖然在宇宙學中有引力奇異點（黑洞奇異點）。
• 或者，在某方面來說，這個點破壞了該數學物件的整體一致性。這個點被稱為病態的，是良態的反義。一般的例子是：
  • 光滑的曲線或平面（光滑函數）上的尖點，它破壞了該函數的可微性。
  • 連續的曲線中一個斷掉的點，它破壞了該曲線的連續性。

不可微的點

就可微性來說：

• 曲線${\displaystyle y^{2}=x}$在${\displaystyle x=0}$的點是該曲線的奇異點，因為該點的切線是垂直的。垂直切線（vertical tangent）的斜率是無限，所以該點不可微。
• 絕對值函數${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$在${\displaystyle x=0}$的點是該函數的奇異點，因為在該點上無法決定斜率，所以該點不可微。
• 代數集合${\displaystyle \{(x,y):\left|x\right|=\left|y\right|\}}$在${\displaystyle x=0}$的點是奇異點，因為該點不可微。

不連續的點

主條目：不連續點

在實變量分析中，奇異點是不連續點，或是導數的不連續點。

複分析

在複分析中，有四類奇異點，如下所述。假定U為複數集C的一個開子集，a是U內的一元素，而f為定義在去心鄰域U \ {a}下的復可微函數。

• 孤立奇異點：假定f即使定義在U \ {a}，但未定義於a。
  • 可去奇異點
  • 極點
  • 本性奇異點
• 分支點：扼要的說，支點通常是多值函數的支割線的結果，諸如${\displaystyle {\sqrt {z}}}$或${\displaystyle \log {z}}$定義在確實的範圍內，使得它的呈現如同單值函數。
• 非孤立奇異點

參見

• 漸近線
• 連續
• 定義與未定義
• 無限
• 微分方程式的奇解
• 奇異點 (幾何)

外部連結

• Q: What are singularities? Do they exist in nature?（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• PhysicsForums > Singularity (Wikipedia and Mathworld definitions)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Wolfram MathWorld > Singularity（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Collected Papers of Salomon Bochner, Singularities and Discontinuities（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）