本質奇異點

在複分析中，一個函數的本質奇異點（Essential Singularity）又稱本性奇異點，是奇異點中的「嚴謹」的一類。函數在本質奇異點附近會有「極端」的行為。

函數exp(1/z)的函數圖形，在z=0處具有本質奇異點，不同的顏色表示輻角值，而亮度則表示絕對值。圖像中顯示出函數在本質奇異點附近從不同方向逼近奇異點時的行為。與極點附近全白不同，本質奇異點附近是半黑半白的。

粗略來說，對複數平面 C 上的給定的開子集 U，以及 U 中的一點 ${\displaystyle a}$，亞純函數 f : U\{a} → C 在 ${\displaystyle a}$ 處有本質奇異點當且僅當它不是極點也不是可去奇異點。

例如，函數 ${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$在 ${\displaystyle z=0}$ 處有一個本質奇異點。

嚴格地說，點 ${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的本質奇異點當且僅當 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 處的極限 ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ 不存在（既不是一個複數，也不是無窮大）。這種情況會發生當且僅當 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 附近的每一個鄰域中都有極點，或者 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 處的洛朗展開中含有無窮多個負指數項（即其主部（英語：Principal part）是無窮級數）。

亞純函數在本質奇異點附近的行為可以用魏爾斯特拉斯-卡索拉蒂定理（英語：Casorati–Weierstrass theorem）或更為強大的皮卡定理描述。皮卡定理說明：在 ${\displaystyle f}$ 的本質奇異點 ${\displaystyle a}$ 附近的每一個鄰域中都會取遍全體複數（或者除了一個值之外）。

參見

• 整函數
• 萊歐維爾定理
• 極點
• 零點

參考來源

• Weisstein, Eric W. (編). Essential Singularity. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [18 February 2008]. （原始內容存檔於2008-06-22） （英語）.
• Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
• Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-842-65185-4

外部連結

• 斯蒂芬·沃爾夫勒姆的 本質奇異點 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Planet Math中的資料 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）