皮卡定理

關於微分方程唯一解的定理，請見「皮卡-林德勒夫定理」。

皮卡定理是兩個不同的數學定理的泛稱，由法國數學家埃米爾·皮卡證明。這兩個定理都涉及解析函數的值域。

定理的表述

小定理

函數exp(1/z)，在z=0處具有本性奇點。z的色相表示它的輻角，而發光度則表示絕對值。這個圖像說明了接近於奇點時，可以取得任何非零的值。

皮卡小定理說明，如果複變函數${\displaystyle f(z)}$是整函數且不是常數，則${\displaystyle f(z)}$的值域或者是整個複平面，或者只去掉一個點。 這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理：任何不是常數的整函數都一定是無界的。

皮卡的原始證明利用了模λ函數（Modular lambda function）。^[1]證明概要如下：若${\displaystyle f(z)}$的值域不包含複平面上的兩個點，不失一般性地，可以假設${\displaystyle f(z)}$的值域不包含0和1，設${\displaystyle w_{0}}$是其值域中的點，在這個點附近，可以選取模函數${\displaystyle \lambda (z)}$的逆的某個單值解析分支，記作${\displaystyle \lambda ^{-1}(z)}$。利用模函數的通用覆蓋性和單值性定理（英語：Monodromy_theorem），可以將${\displaystyle z_{0}}$點（${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$）附近定義的複合映射${\displaystyle \lambda ^{-1}(f(z))}$解析延拓到整個複平面上，從而得到一個在複平面上單值解析但有界的函數。根據劉維爾定理，該函數為常函數。因此${\displaystyle f(z)}$也是常函數。^[2]

大定理

皮卡大定理說明，如果${\displaystyle f(z)}$在點${\displaystyle w}$具有本性奇點，那麼在任何含有${\displaystyle w}$的開集中，${\displaystyle f(z)}$都將取得所有可能的複數值，最多只有一個例外。

這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理（英語：Casorati–Weierstrass theorem），後者只保證了f的值域在複平面內是稠密的。

評論

• 這個「唯一的例外」實際上在兩個定理中都是需要的：指數函數e^z是一個整函數，永遠不能是零。e^1/z在0處具有本性奇點，但仍然不能取得零。

• 皮卡大定理在一個更一般的形式中也是正確的，可以應用於亞純函數：如果M是一個黎曼曲面，w 是M上的一個點，P¹C = C∪{∞}表示黎曼球面，f : M \ {w} → P¹C是一個全純函數，在w處具有本性奇點，那麼在M的任何含有w的開子集中，函數f都可以取得除了兩個點以外的所有P¹C的點。

例如，亞純函數f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0處具有本性奇點，在0的任何鄰域內都無窮多次取得值∞；但它無法取得0或1的值。

• 皮卡小定理可以從皮卡大定理推出，因為整函數要麼是多項式，要麼在無窮遠處具有本性奇點。

註釋

1. Sanford L. Segal. Nine Introductions in Complex Analysis. Elsevier. 2007: 35. ISBN 9780080550763.
2. 李忠. 复分析导引. 北京大學出版社. 2004: 15. ISBN 9787301077986.

參考文獻

• Conway, John B. Functions of One Complex Variable I 2nd. Springer. 1978. ISBN 0-387-90328-3.
• Shurman, Jerry. Sketch of Picard's Theorem (PDF). [2010-05-18]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-10-19）.