孤立奇異點

假設X是一個代數簇，P∈X是X上的一個奇異點，如果存在一個包含P的開鄰域（又稱開集）U，使得U中不在包含其他的奇異點， 那麼就稱P是孤立奇異點。

在亞純函數中，所有奇異點都是孤立的；但如果一個函數的所有奇異點都是孤立的，並不能保證它是亞純函數。複分析中許多有用的工具，例如洛朗展開、留數定理等，都需要保證相關奇異點的孤立性才能應用。

孤立奇異點分為三種：

• 可去奇異點
• 極點
• 本性奇異點

例子

函數${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$在${\displaystyle z=0}$處有孤立奇異點。

餘割函數${\displaystyle \csc(\pi z)}$在所有整數點處有孤立奇異點。

函數${\displaystyle \exp({\frac {1}{z}})}$在${\displaystyle z=0}$處有孤立奇異點，這是一個本質奇異點。

複分析中孤立奇異點與洛朗展開的關係

可去奇異點、極點、本性奇異點的定義

三種孤立奇異點有許多等價定義，以下列出部分，用以說明與洛朗級數的關係。

1. 一個孤立奇異點${\displaystyle a}$被稱作可去奇異點，如果${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}<\infty }$；
2. 一個孤立奇異點${\displaystyle a}$被稱作極點，如果${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}=\infty }$；
3. 一個孤立奇異點${\displaystyle a}$被稱作本性奇異點（又譯作本質奇異點），如果極限${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}}$不存在。

洛朗級數的主要部分

複函數${\displaystyle f(z)}$在一個以點${\displaystyle c}$為圓心的解析的環形區域${\displaystyle D}$上可以展開成這樣的級數形式

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

其中，${\displaystyle a_{n}}$具有這樣的形式：${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,}$。積分路徑γ是一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，位於圓環A內。

此時，${\displaystyle f(z)}$的洛朗展開式中，指數為負數的部分${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}a_{n}(z-c)^{n}}$稱作${\displaystyle f(z)}$的主要部分(principal part)。

可去奇異點、極點、本性奇異點與洛朗級數的主要部分的關係

以下可以看作可去奇異點、極點、本性奇異點又一等價定義。

1. 假設${\displaystyle a}$是複函數${\displaystyle f(z)}$的一個可去奇異點，則${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle a}$處鄰域內的洛朗級數展開式不含有主要部分。
2. 假設${\displaystyle a}$是複函數${\displaystyle f(z)}$的一個極點，則${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle a}$處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分僅含有有限項；且主要部分的項數恰等於極點${\displaystyle a}$的階數。
3. 假設${\displaystyle a}$是複函數${\displaystyle f(z)}$的一個本性奇異點，則${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle a}$處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分含有無窮多項。

證明

相關例子與應用

參見

• 非孤立奇異點

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Singularity. MathWorld.