留數定理

在複分析中，留數定理，又叫殘數定理（英語：Residue theorem），是用來計算解析函數沿着閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推論。

定理

假設${\displaystyle U}$是複平面上的一個單連通開子集，${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$是複平面上有限個點，${\displaystyle f}$是定義在${\displaystyle U\setminus {a_{1},\cdots ,a_{n}}}$的全純函數。如果${\displaystyle \gamma }$是一條把${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$包圍起來的可求長曲線，但不經過任何一個${\displaystyle a_{k}}$，並且其起點與終點重合，那麼：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

如果γ是若爾當曲線，那麼I(γ, a_k) = 1，因此：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

在這裏，Res(f, a_k)表示f在點a_k的留數，I(γ, a_k)表示γ關於點a_k的卷繞數。卷繞數是一個整數，它描述了曲線γ繞過點a_k的次數。如果γ依逆時針方向繞着a_k移動，卷繞數就是一個正數，如果γ根本不繞過a_k，卷繞數就是零。

例子

實軸上的積分

以下的積分

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}$

積分路徑

在計算柯西分佈的特徵函數時會出現，用初等微積分計算並不容易。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限，積分路徑為沿着實直線從−a到a，然後再依逆時針方向沿着以0為中心的半圓從a到−a。取a為大於1，使得虛數單位i包圍在曲線裏面。路徑積分為：

${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}$

由於e^itz是一個整函數（沒有任何奇點），這個函數僅當分母z² + 1為零時才具有奇點。由於z² + 1 = (z + i)(z − i)，因此這個函數在z = i或z = −i時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。

由於f(z)是

${\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!}$	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\,\!}$
	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}{\frac {1}{z-i}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\,\!}$

f(z)在z = i的留數是：

${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}$

根據留數定理，我們有：

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}$

路徑C可以分為一個「直」的部分和一個曲線弧，使得：

${\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,}$

因此

${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.}$

如果t > 0，那麼當半圓的半徑趨於無窮大時，沿半圓路徑的積分趨於零：

${\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .}$

上述結果也可以直接由Jordan引理（英語：Jordan%27s_lemma）得到^[1]，要注意這裏的半圓弧上積分隨半徑增長趨於0必須要${\displaystyle t>0}$才能成立，所以如果${\displaystyle t<0}$就必須考慮下半平面上的半圓弧。

因此，如果t > 0，那麼：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}$

類似地，如果曲線是繞過−i而不是i，那麼可以證明如果t < 0，則

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}$

因此我們有：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$

（如果t = 0，這個積分就可以很快用初等方法算出來，它的值為π。）

無窮級數

由於${\displaystyle \pi \cot(\pi z)}$在${\displaystyle z}$為整數時皆為一階極點，並且留數皆為${\displaystyle 1}$，因此可以用來計算如下所示級數：

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)}$

在此處令${\displaystyle f(z)=z^{-2}}$，並且令${\displaystyle \Gamma _{N}}$為${\displaystyle \left[-N-{\frac {1}{2}},N+{\frac {1}{2}}\right]^{2}}$的正方形正向（逆時針）圍道（其中${\displaystyle N}$為整數），於是依留數定理：

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} _{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum _{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}}$

當${\displaystyle N\to \infty }$時，等式左側由於${\displaystyle O(n^{-2})}$而趨於零；另一方面：

${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots }$

其中有伯努利數${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}$。

（實際上有${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}={\frac {\mathrm {i} z}{1-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}-{\frac {\mathrm {i} z}{2}}}$）因此，${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=0}=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}}$，可以得出：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

即為巴塞爾問題的證明之一。

參見

• 留數
• 路徑積分
• 莫雷拉定理
• 傅里葉變換
• 拉普拉斯變換

參考文獻

1. 史濟懷; 劉太順. 复变函数. 合肥: 中國科學技術大學出版社. 1998-12-01. ISBN 9787312009990.

• Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9
• Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4
• Lindelöf, Ernst, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8

外部連結

• Mathworld （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• John H. Mathews所作的留數定理教程