單連通

單連通是拓撲學中拓撲空間的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓撲空間的基本群是一個空間是否為單連通的標誌：當且僅當空間的基本群是當然群時，路徑連通的拓撲空間是單連通的^[1]:322。

定義

這個集合不是單連通的，因為任何一個包含「洞」的閉曲線都不能收縮至一點

考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點，則稱該空間為單連通的。 換言之^[2]， 拓撲空間X 是單連通的充要條件為：對任意連續映射

${\displaystyle \gamma :\mathrm {S} ^{1}\to X}$

在拓撲空間X 中，存在一點x 及同倫等價

${\displaystyle h:[0,1]\times \mathrm {S} ^{1}\to X}$

使得

${\displaystyle \forall t\in S^{1},\;h(0,t)=\gamma (t)}$

${\displaystyle \forall t\in S^{1},\;h(1,t)=x}$

另一種等價的定義是：當且僅當拓撲空間X 路徑連通，並對任意的、同起點的（即 p(0) = q(0) 且 p(1) = q(1)）兩條路徑 p : [0,1] → X 和 q : [0,1] → X， 存在一個同倫

${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\rightarrow X}$，

使得

${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$

${\displaystyle F(x,1)=q(x)}$

此時拓撲空間X 是單連通的。

一個拓撲空間X ，當且僅當拓撲空間X 路徑連通，且其基本群僅由單位元素構成時，它是單連通的。^[1]:322 類似的，當且僅當對拓撲空間X 中的任意點 (x,y),在X 的基本群中，態射 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$ 的集合只有一個元素時，拓撲空間X 是單連通的。^[3]

若拓撲空間X 可寫成單連通開子集之並，則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間（例如流形）通常不在此類。

在複分析中，當且僅當複數域 C 中的開集X 和它的補集在黎曼球面上連通時，X 才是單連通的。 虛部嚴格大於 0 小於 1 的複數集合，提供了一個有趣的例子：一個無界的、連通的、補集不連通平面的開子集。然而這個集合是單連通的。

討論

粗略的說，如果空間中的某個物體僅由一小塊構成，並且沒有任何的「洞」穿過它，則這個物體是單連通的。舉個例子：甜甜圈和（帶手柄的）咖啡杯均不是單連通的；而一個空心橡膠球是單連通的。 在二維的情況下，圓不是單連通的；而（實心）碟片和直線是單連通的。 連通但不是單連通的空間稱為非單連通或多重連通的^[4]。

球面是單連通的，因為可以將球面上的任意一條閉曲線，沿球面收縮到一點。

這樣的定義只排除了類手柄形狀的洞。一個球體或空心的球體是單連通的，因為其表面上的任何閉曲線都能連續地收縮到一點，即使球的中心有一個「孔」。 在更強一些的條件下，如果一個物體在任何維度上都沒有洞，則稱其為可縮空間。

例子

環面不是單連通的。右圖中，任意一條彩色閉曲線，都不能在不離開環面的情況下收縮到一點。

• 單位圓盤 ${\displaystyle D^{n}:=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\}}$ 均為單連通
• 雖然實數集 R 自身是單連通的，但實數集 R 的單點緊化不是單連通的。
• 二維歐氏空間 R² 是單連通的，但 R² 除去原點 (0,0) 之後得到的 R²\{0} 非單連通。事實上，它同倫等價於 ${\displaystyle S^{1}}$^[5]:195。

當 n > 2時，Rⁿ 和 Rⁿ\{0} 均是單連通的。

• n 維歐氏空間 Rⁿ 的每個凸子集都是單連通的^[6]。
• 二維以上球面 ${\displaystyle S^{n}:=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\},n\geq 2}$ 均為單連通^[6]。

然而 ${\displaystyle S^{1}}$ 並非單連通：${\displaystyle \pi _{1}(S^{1},*)=\mathbb {Z} }$。

• 每個拓撲向量空間均是單連通的。包括：巴拿赫空間和希爾伯特空間。
• 環面、圓柱體、莫比烏斯帶、射影平面和克萊因瓶均不是單連通的。
• 當n 大於 2 時，特殊正交群 SO(n ,R) 都不是單連通的，而特殊么正群 SU(n ) 都是單連通的。
• 長直線L 是單連通的。它的緊化擴展L* 雖然是路徑連通的，但不是單連通的。

性質

• 當且僅當一個表面（二維拓撲流形）是連通的，且它的虧格為 0 時，它才是單連通的。
• 任何（適宜）空間X 的通用覆蓋都是單連通空間，它通過覆疊映射映射到X。
• 若X 和Y 是同倫等價的，且X 是單連通的，那麼Y 也是單連通的。
• 單連通集合的圖像經連續函數轉換後不一定是單連通的。舉個例子：複數平面經指數映射後得到 C\{0}，它不是單連通的。
• 在單連通流形上，一次微分形式 ω 正合的充要條件是 dω=0 。

應用

單連通性的概念在複分析中十分重要：

• 柯西積分定理保證：對一個複數平面 C 的單連通開集U，若有全純函數 f : U → C，全純函數f 在集合U 上有不定積分F。則在集合U 上，被積函數f 的每一個線積分的值，只取決於積分路徑的兩個端點u 和v，積分值能表示為 F (v) - F (u)。因此，積分值不依賴於連接 u 和 v 的特定路徑。
• 黎曼映射定理保證：除複數域 C 自身外，任何非空的、單連通的複數域 C 的開子集共形等價於單位圓盤。

單連通性的概念也是龐加萊猜想的一個重要條件。

參見

• 單位連通空間（英語：Unicoherent space）
• 基本群
• 路徑連通
• n-連通
• 同倫
• 形變收縮

參考文獻

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