負整數

負整數，在數學中是指小於0的整數。負整數是負數與整數的交集。和整數一樣，負整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常用粗體Z^-或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$來表示。^[1]在任何大於0的自然數前面加上性質符號「−」，所得的數即為負整數，例如−1、−2、−3等。負整數可以被認為是自然數的擴展。負整數與0則統稱為非正整數。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

性質

負整數是指小於零的整數^{[註 1]}。負整數存在最大值負一，但不存在最小值；負整數與負整數的和仍是負整數，而負整數與負整數的積會變為正整數。

負整數的平方

由於負整數與負整數的積會變為正整數，因此負整數的平方與其相反數的平方數相同

${\displaystyle {(-n)}^{2}={n}^{2}}$

負整數的方根

若不考慮複數，負整數不能取平方根，但能夠取奇數次的方根。在複數域中，負整數的平方根為其相反數平方根的虛數單位倍。

${\displaystyle {\sqrt {-n}}=i{\sqrt {n}}}$

負整數的對數

在實數域中，負整數的對數不存在。但在複數域，根據歐拉恆等式${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$，可以得出-1的自然對數${\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi }$，再依據對數性質${\displaystyle \log _{\alpha }MN=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!N}$，負整數的對數${\displaystyle \ln {(-n)}=\ln {(-1\times n)}=\ln {(-1)}+\ln {(n)}}$，得到：

${\displaystyle \ln {(-n)}=\ln {(n)}+i\pi }$

負整數的因數

負整數的正因數與其相反數的正因數相同^[2]。在質因數分解中，能夠透過將負一提出來完成質因數分解^[3][4]，而除了-1外，其他的質因數亦與其相反數相同。

部分的負整數

-1

參見：-1

• 負數單位。
• 最大的負整數、最大的負奇數。
• 平方根為虛數單位。

-2

參見：-2

• 負數，因數有-2、-1、1和2。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 2}$。

• 最大的負偶數。
• 立方體下閉集合中歐拉示性數的最小值^[5]。

-3

參見：-3

• 負數，因數有-3、-1、1和3。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 3}$。

• 負三分貝為半能點。
• 二次域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]}$為簡單歐幾里得整環。^{[註 2]}
• 四維超立方體（或四維超方形）下閉集合中歐拉示性數的最小值^[5]

-4

• 負數，因數有-4、-2、-1、1、2和4。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 2^{2}}$。

• 五維超立方體（或五維超方形）下閉集合中歐拉示性數的最小值^[5]
• 平方根為2i

-6

• 負數，因數有-6、-3、-2、-1、1、2、3和6。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 2\times 3}$。

• 廣義的三角形數、廣義的六邊形數與雙Pochhammer三角形（Double Pochhammer triangle）（OEIS數列A039683）。

-7

• 負數，因數有-7、-1、1和7。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 7}$。

• 二次域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]}$為簡單歐幾里得整環。^{[註 2]}

-10

• 負數，因數有-10、-5、-2、-1、1、2、5和10。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 2\times 5}$。

• 六維超立方體（英語：6-cube）（或六維超方形）下閉集合中歐拉示性數的最小值^[5]

-11

• 負數，因數有-11、-1、1和11。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 11}$。

• 二次域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-11}}]}$為簡單歐幾里得整環。^{[註 2]}

-14

• 負數，因數有-14、-7、-2、-1、1、2、7和14。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 2\times 7}$。

• -14是Glaisher's chi數（OEIS數列A002171）
• -14是廣義的斯特靈三角數（OEIS數列A049444）

-40

• 負數，因數有-40、-20、-10、-8、-5、-4、-2、-1、1、2、4、5、8、10、20和40。

  質因數分解，${\displaystyle -1\times 2^{3}\times 5}$。

• 華氏及攝氏溫標的平等點，即-40℉=-40℃。

參見

• 正整數

註釋

1. 在資訊領域中提到的負零一般不屬於數論中的負整數集合中。
2. 有此性質的負數只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS數列A048981）^[6]

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. (編). Negative Integer. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2023-11-24]. （原始內容存檔於2023-06-06） （英語）.
2. Factors of a Negative Number. sciencing.com. 2018-03-18 [2020-03-20]. （原始內容存檔於2017-07-01）.
3. José Luis Gómez Pardo. Introduction to Cryptography with Maple. SpringerLink : Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012: 336. ISBN 9783642321665. LCCN 2012944964.
4. Bard, G.V. Sage for Undergraduates. American Mathematical Society. 2015: 269. ISBN 9781470411114. LCCN 14033572.
5. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A214283 (Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
6. LeVeque, William J. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. 2002: II:57,81 [1956]. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 負整數. MathWorld.