−1

在數學中，負一寫作 −1，是 1 的加法逆元，即當 −1 加上 1 之後就變為 0。−1 是介於 −2 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。

-1

← −2 −1 0 →
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命名
小寫	負一
大寫	負壹
序數詞	第負一 negative first
識別
種類	整數
性質
質因數分解	單位元
因數	1
絕對值	1
相反數	1
表示方式
值	-1
算籌
二進制	−1(2)
八進制	−1(8)
十二進制	−1(12)
十六進制	−1(16)
語言
阿拉伯文	−١
孟加拉語	−১
閱 論 編

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為${\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1}$。

在軟體開發中，用來表示變量包含無用的信息，亦能作為函數錯誤時的傳回值。

在編程語言中，取決於第一個元素是用 0 還是 1 表示，−1 可以用來索引數組的最後一個元素，或者倒數第二個元素。

−1 和 1 有許多相似但略有不同的特性。

代數性質

將一數字乘上-1的動作，等價於將此數值變號。藉由分配律，以及1是乘法運算的單位元之公理，對於實數x，我們得到

${\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}$

這裡我們使用了「任意實數x乘上0等於0」，將x從等式中約掉。

${\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}$

複平面或直角坐標系上的0, 1, −1, i, 和 −i

也就是，

${\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}$

故(−1) · x是 x的相反數。

負一平方

−1的平方亦即−1乘於−1，等於1。意即，兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

${\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}$

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「−1是1的加法逆元」。 再使用分配律，我們得到

${\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}$

第三個等式依據是：1是乘法運算的單位元。然後在等式前後加上1

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$

以上運算適用於任意環。

負一的平方根

複數${\displaystyle i}$滿足${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$，也可視為-1的平方根。另一個能滿足x² = −1的複數x是−i。^[1]四元數的代數包含複數平面，等式x² = −1擁有無限多組解。

負一的乘冪

我們定義${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}$，即代數x的−1次方，或代數x的倒數。可將此定義結合指數定律${\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} }$ 。 負數整數形式的指數可以拓展到環的逆元素，定義${\displaystyle x^{-1}}$作為${\displaystyle x}$的乘法逆元。

函式或矩陣右上的-1不是指數，而是反函數與反矩陣。例如：${\displaystyle f^{-1}(x)}$是${\displaystyle f(x)}$的反函數，${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$是反正弦函數。

負一的對數

包括-1在內的所有負數在實數域中是沒有對數的，但在複數域，根據歐拉恆等式${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$，可以得出-1的自然對數${\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi }$。

維數

主條目：負維空間

空集的歸納維數被定義為-1。在抽象幾何學（英語：Abstract_polytope）中，空多胞形的維數亦被定義為-1^[2]。

計算機的表示法

大多數計算機系統使用二補數來表示負整數。此系統中，所有位元皆為一以表示-1，若以8-bit有符號整數表示，即為二進制的"11111111"，或十六進位制的"FF"。若將-1解讀為n位無符號整數，n個1將表示為2ⁿ − 1，且較有符號整數系統能容納更大數值。例如，8-bit的"11111111"表示為${\displaystyle {{{2}^{8}}-{1}}=255}$。

在Setun計算機中 ${\displaystyle -1}$以倒轉的阿拉伯數字一「1」表示^[3]。

參見條目

• 1：-1的相反數
• 數表

參考文獻

1. Ask Dr. Math. Math Forum. [2012-10-14]. （原始內容存檔於2019-08-15）.
2. Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. （原始內容存檔於2016-08-19）.
3. N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov. Chapter 10. Program-controlled machine Setun. M.R.Shura-Bura (編). Programming. Moscow. 1963 （俄語）.