冪

此條目頁的主題是代數概念。關於幾何定理，請見「圓冪定理」。

在數學中，重複連乘的運算叫做乘方，乘方的結果稱為 冪^[1]（英語：mathematical power，power）；由此，若 ${\displaystyle n}$ 為正整數，${\displaystyle n}$ 個相同的數 ${\displaystyle b}$ 連續相乘（即 ${\displaystyle b}$ 自乘 ${\displaystyle n}$ 次），就可將 ${\displaystyle b^{n}}$ 看作乘方的結果 ——「冪」。

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}$

bn
記號
底數${\displaystyle b}$ 與 指數${\displaystyle n}$

冪運算（exponentiation）又稱指數運算、取冪^[2]，是數學運算，表達式為 ${\displaystyle b^{n}}$，讀作「${\displaystyle b}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次方」或「${\displaystyle b}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次冪」。其中，${\displaystyle b}$ 稱為底數，而 ${\displaystyle n}$ 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。在純文字格式等不能用上標的情況，例如在編程語言或電子郵件中，${\displaystyle b^{n}}$ 通常寫成 b^n 或 b**n；也可視為超運算，記為 b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 b↑n。

當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作「${\displaystyle b}$ 的平方」；指數為 3 時，可以讀作「${\displaystyle b}$ 的立方」。

由於在十進制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科學記數法藉此簡化記錄的數字；二的冪則在計算機科學中相當重要。

起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（${\displaystyle b}$）自乘指數（${\displaystyle n}$）這麼多次^{[需要解釋]}。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一（即除 0 外，所有數的 0 次方都是 1 ）；指數是負數時，就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即：

${\displaystyle b^{0}=1\qquad (b\neq 0)}$

${\displaystyle b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)}$。

若以分數為指數的冪，則定義：

${\displaystyle b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}}$，

即 ${\displaystyle b}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次方再開 ${\displaystyle m}$ 次方根。

0的0次方（${\displaystyle 0^{0}}$）目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 。

此外，當 ${\displaystyle n}$ 是複數，且 ${\displaystyle b}$ 是正實數時，

${\displaystyle b^{n}=\exp(n\ln(b))}$

exp 是指數函數，而 ln 是自然對數。

重要的恆等式

運算法則

• 同底數冪相乘，底數不變，指數相加：

${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$

• 同底數冪相除，底數不變，指數相減：

${\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}$

• 同指數冪相除，指數不變，底數相除(${\displaystyle b}$不為0)：

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$

其他等式

• ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}}$
• ${\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle x^{1}=x\,\!}$
• ${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}$

運算律

加法和乘法存在交換律，比如：${\displaystyle 2+3=5=3+2}$，${\displaystyle 2\times 3=6=3\times 2}$，但是冪的運算不存在交換律，${\displaystyle 2^{3}=8}$，但是${\displaystyle 3^{2}=9}$。

同樣，加法和乘法存在結合律，比如：${\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)}$，${\displaystyle (2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)}$。不過，冪運算沒有結合律：${\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}$，而${\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}$，所以${\displaystyle (2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}}$。

但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律：

• ${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$
• ${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$
• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}$
• ${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}$
• ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$

整數指數冪

整數指數冪的運算只需要初等代數的知識。

正整數指數冪

表達式${\displaystyle a^{2}=a\cdot a}$被稱作${\displaystyle a}$的平方，因為邊長為${\displaystyle a}$的正方形面積是${\displaystyle a^{2}}$。

表達式${\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}$被稱作${\displaystyle a}$的立方，因為邊長為${\displaystyle a}$的正方體體積是${\displaystyle a^{3}}$。

所以${\displaystyle 3^{2}}$讀作「3的平方」，${\displaystyle 2^{3}}$讀作「2的立方」。

指數表示的是底數反覆相乘多少次。比如${\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243}$，指數是5，底數是3，表示3反覆相乘5次。

或者，整數指數冪可以遞歸地定義成：

${\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}}$

指數是1或者0

注意${\displaystyle 3^{1}}$表示僅僅1個3的乘積，就等於3。

注意${\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}}$，${\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}}$，${\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}}$，${\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}}$，

繼續，得到${\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3}$，所以${\displaystyle 3^{0}=1}$

另一個得到此結論的方法是：通過運算法則${\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}$

當${\displaystyle m=n}$時，${\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}$

• 任何數的1次方是它本身。

零的零次方

主條目：零的零次方

${\displaystyle 0^{0}}$ 其實還並未被數學家完整的定義，但部分看法是${\displaystyle 0^{0}=1}$ ，在程式語言中（python） ${\displaystyle 0**0=1}$

在這裡給出這一種極限的看法

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}}$ 於是，可以求出 x 取值從 1 到 0.0000001 計算得到的值，如圖

負數指數

我們定義任何不為 0 的數 a 的 -1 次方等於它的倒數。

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}$

對於非零${\displaystyle a}$定義

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$,

而${\displaystyle a=0}$時分母為 0 沒有意義。

證法一：

根據定義${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$，當${\displaystyle m=-n}$時

${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,}$

得${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=1}$, 所以${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$。

證法二：

通過運算法則${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

當${\displaystyle m=0}$時，可得${\displaystyle a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}$

負數指數${\displaystyle a^{-n}}$還可以表示成1連續除以${\displaystyle n}$個${\displaystyle a}$。比如：

${\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}$.

特殊數的冪

10的冪

主條目：科學計數法

在十進制的計數系統中，10的冪寫成1後面跟着很多個0。例如：${\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}$

因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數字。如：299,792,458（真空中光速，單位是米每秒），可以寫成 ${\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}$，近似值 ${\displaystyle 2.998\times 10^{8}}$ 或 ${\displaystyle 3\times 10^{8}}$

國際單位制詞頭也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數字，比如：詞頭「千」就是 ${\displaystyle 10^{3}}$，詞頭「毫」就是 ${\displaystyle 10^{-3}}$

2的冪

主條目：2的冪

1的冪

1的任何次冪都為1。

0的冪

0的正數冪都等於0。

0的負數冪沒有定義。

任何非0之數的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。^[3]但某些教科書表示0的0次方為無意義。^[4]也有人主張定義為1。

負1的冪

-1的奇數冪等於-1

-1的偶數冪等於1

指數非常大時的冪

一個大於1的數的冪趨於無窮大，一個小於-1的數的冪趨於負無窮大

當${\displaystyle a>1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to \infty }$

當${\displaystyle a<-1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to -\infty }$ 或 ${\displaystyle \infty }$ , (視乎n 是奇數或偶數)

一個絕對值小於1的數的冪趨於0

當${\displaystyle |a|<1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to 0}$

1的冪永遠都是1

當${\displaystyle a=1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to 1}$

如果數a趨於1而它的冪趨於無窮，那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是：

當${\displaystyle n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e}$

參見e的冪

其他指數的極限參見冪的極限

正實數的實數冪

一個正實數的實數冪可以通過兩種方法實現。

• 有理數冪可以通過N次方根定義，任何非0實數次冪都可以這樣定義
• 自然對數可以被用來通過指數函數定義實數冪

N次方根

從上到下：${\displaystyle x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}}$

主條目：方根

一個數${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根是${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$使${\displaystyle x^{n}=a}$。

如果${\displaystyle a}$是一個正實數，${\displaystyle n}$是正整數，那麼方程${\displaystyle x^{n}=a}$只有一個正實數根。 這個根被稱為${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，記作：${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$，其中${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$叫做根號。或者，${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根也可以寫成${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}$. 例如${\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}$

當指數是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$時根號上的2可以省略，如：${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}$

有理數冪

有理數指數冪定義為

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$

e的冪

主條目：指數函數

這個重要的數學常數e，有時叫做歐拉數，近似2.718，是自然對數的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。 它是從以下極限定義的：

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

指數函數的定義是：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

可以很簡單地證明e的正整數k次方${\displaystyle e^{k}}$是：

${\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$

${\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$

${\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}}$

實數指數冪

y = b^x對各種底數b的圖像，分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因為所有實數可以近似地表示為有理數，任意實數指數x可以定義成^[5]：

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}$

例如：

${\displaystyle x\approx 1.732}$

於是

${\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}$

實數指數冪通常使用對數來定義，而不是近似有理數。

自然對數${\displaystyle \ln {x}}$是指數函數${\displaystyle e^{x}}$的反函數。 它的定義是：對於任意${\displaystyle b>0}$，滿足

${\displaystyle b=e^{\ln b}}$

根據對數和指數運算的規則：

${\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}$

這就是實數指數冪的定義：

${\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}$

實數指數冪${\displaystyle b^{x}}$的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數，這種定義更加常用。

負實數的實數冪

如果${\displaystyle a}$是負數且${\displaystyle n}$是偶數，那麼${\displaystyle x=a^{n}}$是正數。如果${\displaystyle a}$是負數且${\displaystyle n}$是奇數，那麼${\displaystyle x=a^{n}}$是負數。

使用對數和有理數指數都不能將${\displaystyle a^{k}}$（其中${\displaystyle a}$是負實數，${\displaystyle k}$實數）定義成實數。在一些特殊情況下，給出一個定義是可行的：負指數的整數指數冪是實數，有理數指數冪對於${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$（${\displaystyle n}$是奇數）可以使用${\displaystyle n}$次方根來計算，但是因為沒有實數${\displaystyle x}$使${\displaystyle x^{2}=-1}$，對於${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$（${\displaystyle n}$是偶數）時必須使用虛數單位${\displaystyle i}$。

使用對數的方法不能定義${\displaystyle a\leq 0}$時的${\displaystyle a^{k}}$為實數。實際上，${\displaystyle e^{x}}$對於任何實數${\displaystyle x}$都是正的，所以${\displaystyle \ln(a)}$對於負數沒有意義。

使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數${\displaystyle a}$因為它依賴於連續性。函數${\displaystyle f(r)=a^{r}}$對於任何正的有理數${\displaystyle a}$是連續的，但是對於負數${\displaystyle a}$，函數${\displaystyle f}$在有些有理數${\displaystyle r}$上甚至不是連續的。

例如：當${\displaystyle a=-1}$，它的奇數次根等於-1。所以如果${\displaystyle n}$是正奇數整數，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=-1}$當${\displaystyle m}$是奇數，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=1}$當${\displaystyle m}$是偶數。雖然有理數${\displaystyle q}$使${\displaystyle -1^{q}=1}$的集合是稠密集，但是有理數${\displaystyle q}$使${\displaystyle -1^{q}=-1}$的集合也是。所以函數${\displaystyle -1^{q}}$在有理數域不是連續的。

因此，如果要求負實數的任意實數冪，必須將底數和指數看成複數，按複數的正實數冪或複數的複數冪方法計算。

正實數的複數冪

e的虛數次冪

主條目：指數函數

指數函數e^z可以通過(1 + z/N)^N當N趨於無窮大時的極限來定義，那麼e^iπ就是(1 + iπ/N)^N的極限。在這個動畫中n從1取到100。(1 + iπ/N)^N的值通過N重複增加在複數平面上展示，最終結果就是(1 + iπ/N)^N的準確值。可以看出，隨着N的增大，(1 + iπ/N)^N逐漸逼近極限-1。這就是歐拉公式。

複數運算的幾何意義和e的冪可以幫助我們理解${\displaystyle e^{ix}}$（${\displaystyle x}$是實數），即純虛數指數函數。想象一個直角三角形${\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})}$（括號內是複數平面內三角形的三個頂點），對於足夠大的${\displaystyle n}$，這個三角形可以看作一個扇形，這個扇形的中心角就等於${\displaystyle {\frac {x}{n}}}$弧度。對於所有${\displaystyle k}$，三角形${\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})}$互為相似三角形。所以當${\displaystyle n}$足夠大時${\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}}$的極限是複數平面上的單位圓上${\displaystyle x}$弧度的點。這個點的極坐標是${\displaystyle (r,\theta )=(1,x)}$，直角坐標是${\displaystyle (\cos x,\sin x)}$。所以${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。這就是歐拉公式，它通過複數的意義將代數學和三角學聯繫起來了。

等式${\displaystyle e^{z}=1}$的解是一個整數乘以${\displaystyle 2i\pi }$^[6]：

${\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$

更一般地，如果${\displaystyle e^{b}=a}$，那麼${\displaystyle e^{z}=a}$的每一個解都可以通過將${\displaystyle 2i\pi }$的整數倍加上${\displaystyle b}$得到：

${\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$

這個復指數函數是一個有周期${\displaystyle 2i\pi }$的周期函數。

更簡單的：${\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$。

三角函數

主條目：歐拉公式

根據歐拉公式，三角函數餘弦和正弦是：

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}$

歷史上，在複數發明之前，餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函數的求和公式轉換成了簡單的指數方程

${\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}$

使用了複數指數冪之後，很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。

e的複數指數冪

${\displaystyle e^{x+iy}}$可以分解成${\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}}$。其中${\displaystyle e^{x}}$是${\displaystyle e^{x+iy}}$的模，${\displaystyle e^{iy}}$決定了${\displaystyle e^{x+iy}}$的方向

正實數的複數冪

如果${\displaystyle a}$是一個正實數，${\displaystyle z}$是任何複數，${\displaystyle a^{z}}$定義成${\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}$，其中${\displaystyle x=\ln(a)}$是方程${\displaystyle e^{x}=a}$的唯一解。所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。

例如：

${\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i}$

${\displaystyle {{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i}$

${\displaystyle {{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i}$

${\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1}$

複數的複數冪

複數的虛數冪

讓我們從一個簡單的例子開始：計算${\displaystyle \left(1+i\right)^{i}}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle {\sqrt {2}}^{i}}$的得法參見上文正實數的複數冪

複數的複數冪

類似地，在計算複數的複數冪時，我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算${\displaystyle \left(1+i\right)^{2+i}}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}$

一般情況

複數的複數冪必須首先化為底數為${\displaystyle e}$的形式：

${\displaystyle w^{z}=e^{z\ln w}}$

又，由複數的極坐標表示法：

${\displaystyle w=re^{i\theta }}$

故

${\displaystyle w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}}$。

然後，使用歐拉公式處理即可。

由於複數的極坐標表示法中，輻角${\displaystyle \theta }$的取值是具有周期性的，因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函數。不過實際應用中，為了簡便起見，輻角都只取主值，從而使冪值唯一。

在函數中

當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如${\displaystyle f^{3}(x)}$即${\displaystyle f(f(f(x)))}$。特別地，${\displaystyle f^{-1}(x)}$指${\displaystyle f(x)}$的反函數。

但三角函數的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時則表示其反函數。例如：${\displaystyle (\sin x)^{-1}}$表示${\displaystyle \csc x}$。因此在三角函數時，使用${\displaystyle \sin ^{-1}x}$來表示${\displaystyle \sin x}$的反函數${\displaystyle \arcsin x}$。

計算自然數（正整數） n {\displaystyle n} 的 a n {\displaystyle a^{n}} 的算法

最快的方式計算${\displaystyle a^{n}}$，當${\displaystyle n}$是正整數的時候。它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的，和通過簡單的移所有位向右來除以2的事實。

在C/C++語言中，你可以寫如下算法：

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的時間複雜度為${\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!}$，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為${\displaystyle \mathrm {O} (n)\!}$），在${\displaystyle n}$較大的時候更為顯著。

例如計算${\displaystyle a^{100}}$，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算${\displaystyle a^{n}(n<0)}$可先以上述算法計算${\displaystyle a^{|n|}}$，再作倒數。

另見

• 迭代冪次

註釋

1. 李迪. 中国数学通史: 宋元卷. 江蘇敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928. 自乘為冪
2. 存档副本. [2022-10-21]. （原始內容存檔於2022-10-22）.
3. Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
4. 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35：a的0次方=1(a≠0)(註：0的0次方為無意義)
5. Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.
6. This definition of a principal root of unity can be found in:

   • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7. Online resource （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
   • Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6. Defined on page 351, available on Google books.
   • "Principal root of unity （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", MathWorld.

外部連結

• 指數的歷史