運算

提示：此條目頁的主題不是算子或計算。

在數學中，一個 運算 被定義為一個將一個或更多個輸入值（或稱 「運算數」 或 「參數」）對應到一個兩定義的輸出值的函數。這些運算數的個數被稱為該運算的元數。

研究中最常見的運算是二元運算（也就是元數為 2 的運算）如加法、乘法，還有一元運算（也就是元數為 1 的運算）如加法逆、乘法逆。而一個操作數為零的運算，或者說一個零元運算（英語：nullary operation），是一個常數，這種運算在計算機科學中比較常見一些。^[1][2]混合積是一個三元運算（英語：ternary_operation）的例子。

通常而言一個運算的輸入值是有限的，但有時也應當考慮無窮元運算（英語：finitary operations）^[1]，這時，「通常的」輸入值有限的運算就被歸類為有限元運算了。

運算的類型

有兩類常見的運算，一元和二元運算。其中，一元運算僅涉及一個輸入值，比如邏輯非或者三角函數等。^[3]而對於以加、減、乘、除以及冪為例的二元運算，則需要兩個輸入值^[4]。

除卻數字，運算也允許涉及其他數學對象。比如邏輯真值 「真」 和 「假」 就可以通過 「與」、「或」、「非」 這些邏輯運算符連接並參與運算，其中 「與」 和 「或」 為二元運算，而「非」為一元運算；向量可以進行加減；^[5] 轉動可以通過函數複合進行運算，運算結果是先進行前一個旋轉，接着進行後一個旋轉的複合旋轉。集合上的運算包括二元的交、並運算^[6][7][8]；函數之間的運算有函數複合、卷積等^[9][10]。

作為一個函數，運算並不總對其域上的所有元定義良好。例如實數上對零做除法^[11]或者對負數開平方根就是不被允許的。所有能被運算的值構成一集合，記為該運算的定義域。對於整個定義域上的值，包含該運算作為函數導出的所有值的集合稱作該運算的上域，而所有導出值本身構成的集合，稱運算的像或者值域^[12]。例如前文所述的實數平方根，其定義域即 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$，值域也是 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$，上域則是任意一個含有值域的集，此處可以為 ${\displaystyle \mathbb {R} }$；而實數的除法運算，定義域為 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\neq 0}}$，值域為 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0}}$。

此外，多元的運算可以涉及並不相似的元素：向量能夠與標量進行數乘運算並得到另一個向量^[13]；兩個向量可以進行內積運算並最後得到一個標量^[14][15]。一個運算有時也會被賦予一些額外屬性如結合律、交換律、反交換律、冪等等。

這些參與運算的值被稱作 「參數」 或 「輸入」，而得到的值被稱作 「值」、「結果」 或 「輸出」。運算的元數可以是從 2 到 ${\displaystyle \infty }$ 之間的任何整值^[1]。

算符 與運算近似，指的是運算所使用的符號和過程，因而二者並不完全等同。「加法運算」常側重於輸入和輸出兩端，而「加法算符」（粗略而言，「加號」）則更聚焦於過程，以一種更形式化的說法，即映射 ${\displaystyle +\colon X\times X\to X}$。

定義

一個從 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ 到 ${\displaystyle Y}$的 ${\displaystyle n}$ 元運算 ${\displaystyle \omega }$ 被認定為映射

${\displaystyle \omega \colon X_{1}\times \cdots \times X_{n}\to Y.}$

其中，集合 ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ 稱作運算的域，${\displaystyle Y}$稱作運算的上域，非負整數 ${\displaystyle n}$稱作運算的元數。特別地，零元運算僅是上域 ${\displaystyle Y}$上的一個單一元素。值得指出，${\displaystyle n}$元運算完全允許視作 ${\displaystyle (n+1)}$元關係，該關係對運算的域為全域的，對運算的上域則是唯一的。

一個從 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ 到 ${\displaystyle Y}$的 ${\displaystyle n}$ 元部分運算，其上域為 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ 的任意子集。

以上敘述常稱作 有限關係，參數有限。顯然存在擴張，將元數認定為一個無窮序數或者無窮基數，甚至是以任意集作為參數的指標集。

通常情況下，使用」運算「這個詞暗含了域是上域的冪這個條件（即上域和自身的一個或更多副本的笛卡兒積）^[16]，這一性質並不絕對，就像內積運算，並不符合該描述：將兩個向量點乘，結果是一個標量。一個 ${\displaystyle n}$元運算 ${\displaystyle \omega \colon X^{n}\to X}$ 被稱作內部運算；一個 ${\displaystyle n}$元運算 ${\displaystyle \omega \colon X^{i}\times S\times X^{n-i-1}\to X}$，其中${\displaystyle 0\leq i<n}$，被稱作由標量集或者算子集 ${\displaystyle S}$ 構造的 外部運算。特別地，二元運算 ${\displaystyle \omega \colon S\times X\to X}$ 稱作由 ${\displaystyle S}$ 決定的 左外部運算，相應地 ${\displaystyle \omega \colon X\times S\to X}$ 稱作由 ${\displaystyle S}$ 決定的 右外部運算。

一個 ${\displaystyle n}$ 元多值函數 或者 多值運算 ${\displaystyle \omega }$ 是一個從其笛卡兒積到其冪集的形如 ${\displaystyle \omega \colon X^{n}\to {\mathcal {P}}(X)}$的映射^[17]。

參見

• 有限元關係（英語：finitary relation）
• 超運算
• 中綴表示法
• 算子
• 操作數

參考文獻

1. Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2019-12-10].
2. DeMeo, William. Universal Algebra Notes (PDF). math.hawaii.edu. August 26, 2010 [2019-12-09]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-05-19）.
3. 埃里克·韋斯坦因. Unary Operation. MathWorld.
4. 埃里克·韋斯坦因. Binary Operation. MathWorld.
5. 埃里克·韋斯坦因. Vector. MathWorld. 」向量能被加到一起（向量加法）、相減（向量減法）……「
6. Weisstein, Eric W. Union. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英語）.
7. Weisstein, Eric W. Intersection. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英語）.
8. Weisstein, Eric W. Complementation. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英語）.
9. Weisstein, Eric W. Composition. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英語）.
10. Weisstein, Eric W. Convolution. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英語）.
11. Weisstein, Eric W. Division by Zero. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英語）.
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14. Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. Functional Analysis. New Age International. 1995. ISBN 978-81-224-0801-0 （英語）.
15. Weisstein, Eric W. Inner Product. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] （英語）.
16. Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. Chapter II, Definition 1.1. A Course in Universal Algebra. Springer. 1981.
17. Brunner, J.; Drescher, Th.; Pöschel, R.; Seidel, H. Power algebras: clones and relations (PDF). EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik). Jan 1993, 29: 293–302 [2022-10-25].