稠密集

在拓撲學及數學的其它相關領域，給定拓撲空間X及其子集A，如果對於X中任一點x，x的任一鄰域同A的交集不為空，則A稱為在X中稠密。直觀上，如果X中的任一點x可以被A中的點很好的逼近，則稱A在X中稠密。

等價地說，A在X中稠密當且僅當X中唯一包含A的閉集是X自己。或者說，A的閉包是X，又或者A的補集的內部是空集。

度量空間中的稠密集

在度量空間(E,d)中，也可以如下定義稠密集。當X的拓撲由一個度量給定時，在X中A的閉包${\displaystyle {\overline {A}}}$是A與A中元素的所有數列極限（它的極限點）的集合的併集，

${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}}$。

那麼當

${\displaystyle {\overline {A}}=X}$，

A在X中是稠密的。

注意${\displaystyle A\subseteq \{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}}$。如果${\displaystyle \{U_{n}\}}$是一個完備度量空間X中稠密開集上的序列，則${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$在X上依然稠密。這個事實與貝爾綱定理中的一個形式等價。

例子

• 每一拓撲空間是其自身的稠密集。
• 有理數域和無理數域是實數域中的稠密集（在通常拓撲意義下）。
• 度量空間${\displaystyle M}$是其完備集${\displaystyle \gamma M}$中的稠密集。

參見

• 可分空間：存在可數稠密集的空間。
• 無處稠密集：意如其文。

參考文獻

• Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. 1989 [1971]. ISBN 3-540-64241-2.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446