貝爾綱定理

貝爾綱定理（英語：Baire category theorem，BCT）是點集拓撲學和泛函分析中的一個重要的工具。這個定理有兩種形式，每一個都給出了拓撲空間是貝爾空間的充分條件。

該定理由勒內-路易·貝爾在他1899年的博士論文中證明。^[1]

定理的陳述

一個貝爾空間是一個拓撲空間，具有以下性質：對於任意可數個開稠密集U_n，它們的交集∩ U_n都是稠密的。

• （BCT1）每一個完備度量空間都是貝爾空間。更一般地，每一個同胚於某個完備偽度量空間的開子集的拓撲空間都是貝爾空間。因此每一個完備可度量化的拓撲空間都是貝爾空間。
• （BCT2）每一個局部緊豪斯多夫空間都是貝爾空間。其證明類似於前一個陳述；有限交集性質取得了完備性扮演的角色。

注意從以上任何一個命題都不能推出另一個，因為存在一個不是局部緊的完備度量空間（帶有定義如下的度量的無理數），也存在一個不可度量化的局部緊豪斯多夫空間（不可數福特空間）。參見以下文獻中的Steen and Seebach。

• （BCT3）一個非空的完備度量空間不是可數個無處稠密集（也就是閉包具有稠密補集的集合）的併集。

這個表述是BCT1的一個結果，有時更加有用。另外，如果一個非空的完備度量空間是可數個閉集的併集，那麼其中一個閉集具有非空的內部。

與選擇公理的關係

BCT1和BCT2的證明需要選擇公理的某種形式；實際上，BCT1與選擇公理的一個較弱的版本——依賴選擇公理等價。^[2]

定理的應用

BCT1可以用來證明開映射定理、閉圖像定理和一致有界原理。

BCT1也表明每一個沒有孤立點的完備度量空間都是不可數的。（如果X是一個可數的完備度量空間且沒有孤立點，那麼在X中每一個單元素集合都是無處稠密的，因此X在它本身內是第一綱）。特別地，這證明了所有實數所組成的集合是不可數的。

BCT1表明以下每一個都是貝爾空間：

• 實數空間R；
• 無理數，其度量定義為d(x, y) = 1 / (n + 1)，其中n是使x和y的連分數展開式不同的第一個指標（這是一個完備度量空間）；
• 康托爾集。

根據BCT2，每一個流形都是貝爾空間，因為它是局部緊空間，也是豪斯多夫空間。這甚至對非仿緊（因此不可度量化）的流形如長直線也是成立的。

證明

以下是完備度量空間${\displaystyle X}$是貝爾空間的一個標準的證明。

設${\displaystyle U_{n}}$為一個開稠密子集的集合。我們希望證明交集${\displaystyle \bigcap U_{n}}$是稠密的。一個子集 ${\displaystyle A}$ 是稠密的當且僅當空間中任意一個非空的開集都與 ${\displaystyle A}$ 相交。為此，我們只需證明 ${\displaystyle X}$ 的任意非空開子集 ${\displaystyle W}$ 有一個點 ${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$ 包含於所有的 ${\displaystyle U_{n}}$ 中。為此，設${\displaystyle W\subset X}$為一個開子集。根據稠密性，存在${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle r_{1}>0}$，使得：

${\displaystyle {\overline {B}}(x_{1},r_{1})\subset W\cap U_{1}}$。

遞歸地，我們求出${\displaystyle x_{n}}$和${\displaystyle r_{n}>0}$，使得：

${\displaystyle {\overline {B}}(x_{n},r_{n})\subset B(x_{n-1},r_{n-1})\cap U_{n}}$而且${\displaystyle r_{n}<n^{-1}}$。

由於當${\displaystyle n>m}$時，${\displaystyle x_{n}\in B(x_{m},r_{m})}$，因此${\displaystyle x_{n}}$是柯西序列，且${\displaystyle x_{n}}$收斂於某個極限${\displaystyle x}$。對於任何${\displaystyle n}$，根據封閉性，有：

${\displaystyle x\in {\overline {B}}(x_{n+1},r_{n+1})\subset B(x_{n},r_{n})}$。

因此，對於所有${\displaystyle n}$，都有${\displaystyle x\in W}$且${\displaystyle x\in U_{n}}$。${\displaystyle \square }$

註釋

1. R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
2. 存档副本. [2009-04-24]. （原始內容存檔於2009-09-12）.

參考文獻

• R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
• Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices.", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., v. 25 n. 10, pp. 933–934.
• Levy, Azriel (1979), Basic Set Theory. Reprinted by Dover, 2002. ISBN 0-486-42079-5
• Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-12-622760-8
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).

泛函分析中的定理

阿爾澤拉-阿斯科利定理 • 貝爾綱定理 • 巴拿赫-阿勞格魯定理 • 巴拿赫-馬祖爾定理 • 開映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米爾格拉姆定理