立方數

第${\displaystyle n}$個立方數指可以寫成${\displaystyle n^{3}}$的數，當中${\displaystyle n}$必為整數。立方數是邊長${\displaystyle n}$的立方體的體積。作為算術用語的「立方」，表示任何數${\displaystyle n}$的三次冪，可用³（Unicode字元179）來表示。

和平方數不同，立方數可存在負數。

若將立方數概念擴展到有理數，則兩個立方數的比仍然是立方數，例如， (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一個整數沒有除了 1 之外的立方數為其因數，則稱其為無立方數因數的數。

首十二個立方數 A000578為：1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...（第零個是0）

雖然形狀不同，每個立方數第${\displaystyle n}$個立方數同時都是第${\displaystyle n}$個六角錐數，即首${\displaystyle n}$個中心六邊形數之和。

立方數和

首${\displaystyle n}$個正立方數之和為${\displaystyle \left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}}$，即第${\displaystyle n}$個三角形數的平方

每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。（華林問題）

1939年，狄克森證明只有23和239需要用9個正立方數的和來表示。

亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 （ A018889）

的士數和士的數都指最小能表示成兩個立方數之和的數，但的士數的必須為正數，士的數則無此限。（見1729）

只有一組連續三個立方數之和亦是立方數，就是3, 4, 5的立方，其和等於6的立方。

在十進制，除了1之外，僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身，它們為153, 370, 371, 407，他們是${\displaystyle n=3}$的自戀數。這4個三位數，亦可視為將它的數字分成三份，每份的立方之和，相似性質的整數有無限個，如165033, 221859, 336700等（ A056733）。

性質

• 除了0以外，立方數不可能是普洛尼克數。^{[註 1]}
• 除了0以外，立方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。^{[註 2]}
• 除了0，1，8以外，立方數不可能是費波那契數。
• 除了1以外，立方數也不可能是盧卡斯數。
• 除了0，1以外，立方數不可能是佩爾數。
• 除了0，1以外，立方數不可能是三角形數、五角數等多邊形數。
• 除了1以外，立方數不可能是中心正方形數、中心五邊形數等中心多邊形數。
• 除了1，8以外，立方數也不可能是烏拉姆數列出現的數。
• 除了1，226981（61的立方）以外，立方數不可能是星數。
• 除了1以外，立方數在楊輝三角形只出現二次。
• 除了0000和9999以外，立方數末4四位數不可能相同
• 立方數不可能是楔形數、半質數。
• 0以外的立方數每一位數數字相加之和，不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 8, 9。
• 是否在相繼立方數之間存在一個素數這一命題，對1000000000000以內的數目是正確的。
• 立方數是模任何整數的三次剩餘；另外，如果某個整數是模任何整數的三次剩餘，那麼它一定是立方數。
• 立方數的正因數個數一定是3的倍數加1。

涉及立方數和的問題

x 3 + y 3 + z 3 = k {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k} 的整數解

主條目：三立方數和

1. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3}$除了有4組解${\displaystyle (1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)}$以外，是否還有其它整數解？
2. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=33}$有整數解${\displaystyle (8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)}$^[1]
3. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=42}$有整數解${\displaystyle (-80538738812075974,80435758145817515,12602123297335631)}$^[2]
4. 方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=114}$是否有整數解？

其他

• 立方質數的定義為${\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$，其中${\displaystyle x=y+1}$或${\displaystyle x=y+2}$。

參見

• 平方數
• 四次方數
• 五次方數

註釋

1. 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為立方數，則n與(n+1)也皆為立方數，2個立方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼立方數為0=0×1。
2. 連續若干個（剛好兩個）數的積是普洛尼克數。

外部連結

• http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考文獻

1. Booker, Andrew R., Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, 2019 [2019-07-01], （原始內容存檔 (PDF)於2021-02-14）
2. Prof. Booker. Life, the Universe, and Everything. [2019-09-07]. （原始內容存檔於2020-05-11）.