二十面化截半大十二面体

二十面化截半大十二面体（icosified dodecadodecahedron）又称二十面十二面十二面体（icosidodecadodecahedron）^[3]是一种星形均匀多面体，由12个正五边形、12个正五角星和20个正六边形组成^[4]，索引为U₄₄，对偶多面体为内侧二十角星化六十面体（英语：Medial icosacronic hexecontahedron）^[5]，其外观与斜方截半大十二面体类似，差别只在正方形面被替换为正六边形面，并且可以视为是斜方截半大十二面体的刻面（英语：Faceting）多面体^[6]。

二十面化截半大十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	内侧二十角星化六十面体（英语：Medial icosacronic hexecontahedron）
识别
名称	二十面化截半大十二面体 icosidodecadodecahedron icosified dodecadodecahedron
参考索引	U44, C56, W83
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ided
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	5/3 5 | 3[1][2]
性质
面	44
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=44, E=120, V=60 （χ=-16）
组成与布局
面的种类	12个正五边形 12个正五角星 20个正六边形
顶点图	5.6.5/3.6
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
5.6.5/3.6 （顶点图） 内侧二十角星化六十面体（英语：Medial icosacronic hexecontahedron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

二十面化截半大十二面体共由44个面、120条边和60个顶点组成。^[2]在其44个面中，有12个正五边形面、12个正五角星面和20个正六边形面^[7][8]。在其60个顶点中，每个顶点都是2个六边形、1五边形和1个五角星的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以五边形、六边形、五角星和六边形的顺序排列，在顶点图中可以用(5.6.5/3.6)^[9]或(6.5/3.6.5)^[8][2]来表示。

表示法

二十面化截半大十二面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[10]（o5/3x3x5*a）^[11]或（x5/4o5/2x3*a）^[11]，在威佐夫记号中可以表示为5/3 5 | 3^[1][2]。

尺寸

若二十面化截半大十二面体的边长为单位长，则其外接球半径为七的平方根（英语：Square root of 7）的一半：^[5][4]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {7}}{2}}\approx 1.3228756555}$

边长为单位长的二十面化截半大十二面体，中分球半径为六的平方根（英语：Square root of 6）的一半：^[4][7]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\approx 1.224744871}$

二面角

二十面化截半大十二面体共有两种二面角，分别为六边形面和五边形面的二面角以及六边形面和五角星面的二面角。^[4][6]

其中，六边形面和五边形面的二面角角度约为100.8123度：^[4]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.759506857578\approx 100.812316964^{\circ }}$

而六边形面和五角星面的二面角角度约为37.377度：^[6]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.652358139784\approx 37.377368^{\circ }}$

分类

由于二十面化截半大十二面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此二十面化截半大十二面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[12]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其馀由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[13]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

相关多面体

二十面化截半大十二面体与10（英语：Compound_of_ten_triangular_prisms）和20复合三角柱（英语：Compound_of_twenty_triangular_prisms）共用相同的顶点布局。同时，其亦与斜方二十面体和斜方截半大十二面体共用相同的边布局。^[6]

凸包	斜方截半大十二面体	二十面化截半大十二面体
斜方二十面体	十复合三角柱（英语：compound of ten triangular prisms）	二十复合三角柱（英语：compound of ten triangular prisms）

参见

• 均匀多面体列表（英语：List of uniform polyhedra）
• 扭棱二十面化截半大十二面体

参考文献

1. V.Bulatov. icosidodecadodecahedron. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-08-21）.
2. Maeder, Roman. 44: icosidodecadodecahedron. MathConsult. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-08-21）.
3. Jim McNeill. Uniform Polyhedra. orchidpalms.com. [2022-08-21]. （原始内容存档于2015-09-24）.
4. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Icosidodecadodecahedron. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-12-23）.
5. Weisstein, Eric W. (编). Icosidodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. Richard Klitzing. icosidodecadodecahedron, ided. bendwavy.org. [2022-08-21]. （原始内容存档于2021-09-24）.
7. Jürgen Meier. 11.6. Rhombidodecadodecahedron, Icosidodecadodecahedron, Rhombicosahedron. 3d-meier.de. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-11-29） （德语）.
8. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #49, icosidodecadodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2023-01-01）.
9. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-21]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
10. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-21]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
11. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
12. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-08-22）.
13. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.