大立方截半立方体

在几何学中，大立方截半立方体是一种非凸均匀多面体，属于星形多面体，其索引为U₁₄。

大立方截半立方体

类别	星形均匀多面体
对偶多面体	大六角二十四面体
识别
名称	大立方截半立方体
参考索引	U14, C50, W77
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gocco
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3 4 | 4/3 4 3/2 | 4
性质
面	20
边	48
顶点	24
欧拉特征数	F=20, E=48, V=24 （χ=-4）
组成与布局
面的种类	8个正三角形{3} 6个正方形{4} 6个八角星{8/3}
面的布局 （英语：Face configuration）	8{3}+6{4}+6{8/3}[1]
顶点图	3.8/3.4.8/3
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
图像
3.8/3.4.8/3 （顶点图） 大六角二十四面体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

大立方截半立方体由20个面、48条边和24个顶点组成^[2]，二十个面中，有8个正三角形、6个正方形和6个八角星。其每个顶点都是1个三角形、1个正方形和2个八角星的公共顶点。

大立方截半立方体的凸包是截角立方体^[3]。

尺寸

若大立方截半立方体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[3]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {5-2{\sqrt {2}}}}{2}}\approx 0.7368128791}$

体积${\displaystyle V}$与表面积${\displaystyle A}$为：^[4]

${\displaystyle V={\frac {8{\sqrt {2}}-6}{3}}\approx 1.77123616633}$

${\displaystyle A=-6+12{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}\approx 14.4346643636}$

二面角

大立方截半立方体有两种二面角，分别为八角星和正方形的二面角以及八角星和三角形的二面角。其中八角星和正方形的二面角为直角^[5]，八角星和三角形的二面角为负三平方根倒数的反馀弦值。^[4]

${\displaystyle \angle }$八角星${\displaystyle ,}$正方形${\displaystyle \,=90^{\circ }}$

${\displaystyle \angle }$八角星${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)\approx 2.18627604\approx 125.26438968^{\circ }}$

顶点座标

边长为1的大立方截半立方体的顶点座标为^[6][7][8]：

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})}$

分类

由于大立方截半立方体的顶点图为梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此大立方截半立方体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[9]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其馀由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[10]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

正交投影

下图显示了三种不同方位大立方截半立方体的正交投影的骨架图：

对偶多面体

主条目：大六角二十四面体

大立方截半立方体的对偶多面体是一种由24个互相相交的鹞形组成的星形多面体，称为大六角二十四面体。

相关多面体

大立方截半立方体与截角立方体和另外两个均匀多面体有著相同的顶点布局（英语：vertex arrangement）。其亦与非凸大斜方立方八面体（英语：nonconvex great rhombicuboctahedron）和大斜方立方体有著相同的棱布局（英语：edge arrangement）。

截角立方体

非凸大斜方立方八面体（英语：Nonconvex great rhombicuboctahedron）

大立方截半立方体

大斜方立方体

对偶复合体

大立方截半立方体与其对偶的复合体为复合大立方截半立方体大六角二十四面体。其共有44个面、96条边和44个顶点，其尤拉示性数为-8，亏格为5，具有6个非凸面^[11]。

参考文献

1. Eric W. Weisstein. Great Cubicuboctahedron. 密西根州立大学图书馆. [2016-09-01]. （原始内容存档于2014-07-11）.
2. great cubicuboctahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-26）.
3. Weisstein, Eric W. (编). Great Cubicuboctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. Klitzing, Richard. great cubicuboctahedron : gocco. bendwavy.org. [2021-09-05].
5. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Great Cubicuboctahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-24）.
6. Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
7. Johann Pitsch, Über Halbreguläre Sternpolyeder, Zeitschrift für das Realschulwesen 6 (1881), 9-24, 64-65, 72-89, 216.
8. Data of Great Cubicuboctahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-09-01）.
9. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-07]. （原始内容存档于2022-08-22）.
10. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
11. compound of great cubicuboctahedron and great hexacronic icositetrahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2015-09-06）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 大立方截半立方體. MathWorld.