小二十面化截半二十面体

小二十面化截半二十面体（small icosified icosidodecahedron）又称小二十面截半二十面体（small icosicosidodecahedron）是一种星形均匀多面体，由20个正三角形、12个正五角星和20个正六边形组成^[1]，索引为U₃₁，对偶多面体为小二十角星化六十面体（英语：Small icosacronic hexecontahedron）^[2]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）^[3][1][4]，并且与大二十面化截半二十面体拓朴同构^[5]。

小二十面化截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	小二十角星化六十面体（英语：Small icosacronic hexecontahedron）
识别
名称	小二十面化截半二十面体 small icosicosidodecahedron small icosified icosidodecahedron
参考索引	U31, C40, W71
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	siid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	5/2 3 | 3
性质
面	52
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=52, E=120, V=60 （χ=-8）
组成与布局
面的种类	20个正三角形 12个正五角星 20个正六边形
顶点图	6.5/2.6.3
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
6.5/2.6.3 （顶点图） 小二十角星化六十面体（英语：Small icosacronic hexecontahedron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

小二十面化截半二十面体共由52个面、120条边和60个顶点组成。^[3]在其52个面中，有20个正三角形面、12个正五角星面和20个正六边形面^[1][6]。在其60个顶点中，每个顶点都是2个正六边形面、1个正三角形面和1个正五角星面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正五角星、正六边形、正三角形和正六边形的顺序排列，在顶点图中可以用(5/2.6.3.6)^[7]或(6.5/2.6.3)^[6][3]来表示。

表示法

小二十面化截半二十面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为（x3o5β）^[8]或^[9]（x5/2o3x3*a）^[8]，在威佐夫记号中可以表示为5/2 3 | 3^[10][3]

尺寸

若小二十面化截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2\left(17+3{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\approx 1.72148932}$

边长为单位长的二十面化截半大十二面体，中分球半径为：^[1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\approx 1.6472782}$

二面角

小二十面化截半二十面体共有两种二面角，分别为六边形面和三角形面的二面角以及六边形面和五角星面的二面角。^[1][5]

其中，六边形面和三角形面的二面角为负5平方根的三分之一之反馀弦值^[5]，角度约为138.19度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 2.411864997\approx 138.189685104^{\circ }}$

而六边形面和五角星面的二面角为角度约为142.62度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 2.4892345138\approx 142.622631859^{\circ }}$

分类

由于小二十面化截半二十面体的顶点图为梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此小二十面化截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[11]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其馀由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[12]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

相关多面体

小二十面化截半二十面体与大星形截角十二面体共用相同的顶点布局。其也与小双三角十二面截半二十面体和小十二面二十面体共用相同的边布局。^[13]

大星形截角十二面体

小二十面化截半二十面体

小双三角十二面截半二十面体

小十二面二十面体

参见

• 均匀多面体列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）

参考文献

1. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Small Icosicosidodecahedron. [2022-08-24]. （原始内容存档于2022-08-24）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Small Icosicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. Maeder, Roman. 31: small icosicosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-24]. （原始内容存档于2022-01-28）.
4. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
5. Richard Klitzing. small icosicosidodecahedron, siid. bendwavy.org. [2022-08-24]. （原始内容存档于2022-01-21）.
6. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #36, small icosicosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-24）.
7. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-24]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
8. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
9. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-24]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
10. V.Bulatov. small icosicosidodecahedron. [2022-08-24]. （原始内容存档于2022-08-24）.
11. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-24]. （原始内容存档于2022-08-22）.
12. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
13. Robert Webb. Great Stellated Truncated Dodecahedron. software3d.com. [2022-08-24]. （原始内容存档于2019-09-26）.