中分球

中分球（midsphere）^[1]或棱切球^[2] （又译中交球、中点球^[3]） 是指与多面体每条棱相切的球。 并非每个多面体都有中分球，但均匀多面体，包括正多面体、拟正多面体和半正多面体及其对偶多面体都具有中分球。 中分球的半径称为中分半径或中分球半径。 如果一个多面体存在中分球则称这个多面体和这颗球中分（midscribed，又译中交）。^[4]（相对于内切球的内切和外接球的外接）

多面体和其中分球。红色圆圈表示可以从每个顶点能见到的中分球球冠之球冠表面的边界。蓝色圆形表示中分球与多面体相交的截面

当多面体具有中分球时，可以在中分球上形成两个垂直的圆形堆叠，一个对应于多面体顶点之间的邻接，另一个对应于具有相同中分球的极多面体。 每个多面体边的长度是其两个端点到该圆形堆叠中相应圆的距离总和。

每一个多面体都有一个等效组合（相同拓朴结构）的规范多面体（canonical polyhedron）。 对应的规范多面体确实会存在中分球，中心点位于所有中分球与棱相切之点集的几何中心。 可以用数值方法近似地求出规范多面体与其中分球，但其座标不能精确地以解析式表示。 任何规范多面体和其极对偶都可以用来构建四维反棱镜的两个相对维面。

在二维空间中没有“中分”的概念，仅有“内切”和“外接”。

定义和范例

三维凸多面体的中分球定义为与多面体的每条边相切的球体。也就是说，每条边都恰好与该球交于一点，而没有边的线段“穿过球体”的情况发生。此时，这个球体与多面体之面相交的部分恰好为该面的内切圆。^[5] 当中分球存在时，它是唯一的。并非每个凸多面体都有中分球；有中分球的多面体每个面都必须有一个内切圆（即这个多面体每个面必须都是圆外切多边形），并且这些内切圆共球，也就是它们都同属于一个球体。例如，长方体^{[注 1]}仅有当所有边等长变为立方体时才具有中分球，否则边不等长的长方体，其矩形面不存在内切圆。^[6]

几何中心位于笛卡尔座标系原点的单位立方体，其八个顶点为${\textstyle (\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}})}$，边的中点与原点的距离为${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$。因此这个立方体的中分球以原点为中心，半径为${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$。这个半径大于其内切球半径${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$，并小于外接球半径${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$。更一般地，任何边长为${\displaystyle \ell }$的柏拉图立体，其中分球半径为^[7]：

• ${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell }$（正四面体）
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ell }$（正八面体）
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell }$（立方体）
• ${\displaystyle {\tfrac {\varphi }{2}}\ell }$（正二十面体，其中${\displaystyle \varphi }$为黄金比例）
• ${\displaystyle {\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell }$（正十二面体）

凸均匀多面体，包括凸正多面体、拟正多面体和半正多面体及其对偶多面体都具有中分球。在凸正多面体中，内切球、中分球和外接球都存在且同心^[8]，其中分球与凸正多面体每条边的中点相切。^[9]

四个成对的相切球体的中心形成克雷尔四面体（Crelle's tetrahedra）的顶点。此处，四个相等的球体形成一个正四面体。中分球穿过这些球体的六个切点，在这种情况下形成正八面体

并非所有不规则四面体都具有中分球。存在中分球的四面体称为“克雷尔四面体”（Crelle's tetrahedra）；其形成所有四面体之六维空间中的一个四维子集（由它们的六个边长参数化）。更精确地说，克雷尔四面体的四个顶点来自四个相互外切的球之球心。在这种情况下，四面体的六个边长是这四个球体半径的两两之和。^[11] 这种四面体的中分球与四面体边相切的点为四个生成球体中的两个球体彼此相切且垂直于所有四个生成球体的点。^[12]

性质

相切圆

若O是凸多面体P的中分球，则O与P的相交处位于每个面上，在面上的相交形状为圆形，该交圆正好与该面的边相切，且相切的点和中分球O与凸多面体P相切的点相同。因此P的每个面都有一个内切圆，并且，当两个面共用一条边时，这两个面上的内切圆恰好彼此相切（然而，并非逤有具有这些特性的圆都来自中分球）^[4]

对偶地，若v是P的顶点，则存在顶点v，其顶角由顶点向下看，会在某个位置与中分球相交，这些交点共面，所形成的平面交于中分球O为一个圆形，该圆形与v的顶角相交的顶点所形成的多边形（顶点图）和中分球O相交的圆为外接圆关系。这个圆与顶点v形成一个圆锥体区域；该圆形形成球冠的边界，在该球冠范围内从v的顶角内可以看到球体的表面。也就是说，从顶点看去，该圆是中分球的地平线。当两个顶点以上述方式形成两个圆形时，所形成的两个圆形恰好彼此相切。^[13]

对偶性

立方体和正八面体具有相同的中分球

若多面体P存在中分球O，则P的极多面体的中分球也是O。极多面体之面与O相交出来的圆（极多面体之面的内切圆）与P从顶角向下看的地平线（顶角在相交位置之顶点图的外接圆）所形成的圆形与顶点构成的圆锥和极多面体面与中分球O相交之圆相切。^[5]极多面体的边和原多面体P与中分球的切点相同，且相切的边对于原多面体P和对应的极多面体的边互相垂直。^[8]

参见

• 内切球
• 外接球

注释

1. 此处的长方体仅指所有面都是矩形、所有角都是直角的六面体，并未要求边长是否要等长，因此此处立方体也是一种长方体。

参考文献

1. 孟庆台. 視覺幾何-多面體面面觀-第三樂章－正多面體的現身. 科学研习期刊. 2023-05-24, 第51卷 (第12期) [2023-11-13]. （原始内容存档于2023-11-13）. 外部链接存在于|journal= (帮助)
2. 林保平. 多面體的生成及動態模型製作在數學算板上的實踐(上) (PDF). sec.ntnu.edu.tw. [2023-11-15]. （原始内容存档 (PDF)于2023-11-15）.
3. 環球城市數學競賽 2013 秋季賽 高中組 初級卷 參考解答 (PDF). 九章数学教育基金会. 2016-06-28 [2023-11-23].
4. Grünbaum, Branko, Are prisms and antiprisms really boring? (Part 3) (PDF), Geombinatorics, 2005, 15 (2): 69–78 [2023-11-13], MR 2298896, Zbl 1094.52007, （原始内容存档 (PDF)于2023-11-09）
5. Coxeter, H. S. M., 2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation, Regular Polytopes 3rd, Dover: 16–17, 1973, ISBN 0-486-61480-8, MR 0370327
6. Wheeler, Roger F., 25. Quadrilaterals, Classroom Notes, The Mathematical Gazette, December 1958, 42 (342): 275–276, JSTOR 3610439, S2CID 250434576, doi:10.2307/3610439
7. Coxeter 1973^[5], Table I(i), pp. 292–293. See column "${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }$", where ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} }$ is Coxeter's notation for the midradius, noting also that Coxeter uses ${\displaystyle 2\ell }$ as the edge length (see p. 2)
8. Cundy, H. M.; Rollett, A. P., Mathematical Models 2nd, Oxford University Press: 79, 117, 1961, MR 0124167, Zbl 0095.38001
9. Pugh, Anthony, Polyhedra: A Visual Approach, University of California Press: 4, 1976 [2023-11-15], ISBN 9780520030565, MR 0451161, Zbl 0387.52006, （原始内容存档于2023-11-15）
10. László, Lajos, An inequality and some equalities for the midradius of a tetrahedron (PDF), Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, 2017, 46: 165–176 [2023-11-15], MR 3722672, Zbl 1399.51014, （原始内容存档 (PDF)于2023-09-10）
11. László 2017^[10]. The irregular tetrahedra with a midsphere provide a counterexample to an incorrect claim of Pugh 1976^[9]: it is not true that only the regular polyhedra have all three of a midsphere, insphere, and circumsphere.
12. Byer, Owen D.; Smeltzer, Deirdre L., Mutually tangent spheres in n-space, Mathematics Magazine, 2015, 88 (2): 146–150, JSTOR 10.4169/math.mag.88.2.146, MR 3359040, S2CID 125524102, Zbl 1325.51011, doi:10.4169/math.mag.88.2.146
13. Ziegler, Günter M., Convex polytopes: extremal constructions and f-vector shapes, Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd (编), Geometric Combinatorics, IAS/Park City Mathematics Series 13, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 617–691, 2007, MR 2383133, S2CID 11167900, Zbl 1134.52018, arXiv:math/0411400 , doi:10.1090/pcms/013/10