−2

在数学中，负二是距离原点两个单位的负整数^[1]，记作−2^[2]或⁻2^[3]，是2的加法逆元或相反数，介于−3与−1之间，亦是最大的负偶数。除了少数探讨整环素元的情况外^[4]，一般不会将负二视为素数^[5]。

-2

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命名
小写	负二
大写	负贰
序数词	第负二 negative second
识别
种类	整数
性质
素因数分解	一般不做素因数分解
高斯整数分解	${\displaystyle i\times \left(1+i\right)^{2}}$
约数	1、2
绝对值	2
相反数	2
表示方式
值	-2
算筹
二进制	−10(2)
三进制	−2(3)
四进制	−2(4)
五进制	−2(5)
八进制	−2(8)
十二进制	−2(12)
十六进制	−2(16)
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		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

提示：此条目页的主题不是负二项分布。

负二有时会做为幂次表达平方倒数，用于国际单位制基本单位的表示法中，如m s^-2[6]。此外，在部分领域如软件设计，负一通常会作为函数的无效回传值^[7]，类似地负二有时也会用于表达除负一外的其他无效情况^[8]，例如在整数数列在线大全中，负一作为不存在、负二作为此解是无穷^[9][10]。

性质

• 负二为第二大的负整数^[11][12]。最大的负整数为负一。因此部分量表会使用负二作为仅次于负一的分数或权重。^[13]
• 负二为负数中最大的偶数，同时也是负数中最大的单偶数（日语：単偶数）。
• 负二为格莱舍χ数（OEIS数列A002171）^[14]
• 负二为第6个扩展贝尔数^[15]（complementary Bell number，或称Rao Uppuluri-Carpenter numbers ）（OEIS数列A000587），前一个是1后一个是-9。^[16]
• 负二为最大的僵尸数^[17]，即位数和（首位含负号）的平方与自身的和大于零的负数^[17]。前一个为-3（OEIS数列A328933）。所有负数中，只有26个整数有此种性质^[17]。
• 负二为最大能使${\displaystyle \tan n>\left|n\right|}$的负整数^[18]。
• 负二能使二次域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$的类数为1，亦即其整数环为唯一分解整环^{[注 1][19]}。而根据史塔克-黑格纳理论（英语：Stark–Heegner theorem），有此性质的负数只有9个^[20][21][22]，其对应的自然数称为黑格纳数^[23]。
  • 此外负二也能使二次域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$成为简单欧几里得整环（simply Euclidean fields，或称欧几里得范数整环，Norm-Euclidean fields）^[24]。有此性质的负数只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS数列A048981）^[25]。若放宽条件，则负十五也能列入^[26][27]。
• 负二为从1开始使用加法、减法或乘法在2步内无法达到的最大负数^[28]。1步内无法达到的最大负数是负一、3步内无法达到的最大负数是负四（OEIS数列A229686）^[28]。这个问题为直线问题（英语：straight-line program）与加法、减法和乘法的结合^[29]，其透过整数的运算难度对NP = P与否在代数上进行探讨^[30]。
• 负二为2阶的埃尔米特数（英语：Hermite number）^[31]，即${\displaystyle H_{2}=H_{2}(0)=-2\,}$^[32]。
  • 同时，负二也是唯一一个素的^{[注 2]}埃尔米特数。^[33]
• ${\displaystyle {{2!}-{{2}^{2}}}=-2}$^[34]，同时满足${\displaystyle \left|n\right|!-n^{2}=n}$，即${\displaystyle \left|-2\right|!-(-2)^{2}=-2}$。此外，${\displaystyle n!-2^{n}}$当${\displaystyle n}$为2和3时结果也为负二^[35]。
• 负二能使k(k+1)(k+2)为三角形数^[36]。所有整数只有9个数有此种性质^[37]，而负二是有此种性质的最小整数。这9个整数分别为-2, -1, 0, 1, 4, 5, 9, 56和636（OEIS数列A165519）^[37]。
• 负二为立方体下闭集合中欧拉示性数的最小值^[38]。

负二的约数

负二的拥有的约数若负约数也列入计算则与二的约数（含负约数）相同，为-2、-1、1、2。根据定义一般不对负数进行素因数分解，虽然能将${\displaystyle -1}$提出来^[39]计为${\displaystyle -1\times 2}$，因此2可以视为负二的素因数，但不能作为负二的素因数分解结果。虽然不能对负二进行整数分解，由于负二是一个高斯整数，因此可以对负二进行高斯整数分解，结果为${\displaystyle i\times (1+i)^{2}}$，其中${\displaystyle 1+i}$为高斯素数^[40]、${\displaystyle i}$为虚数单位。

负二的幂

负二的幂${\displaystyle (-2)^{x}}$示意图

一个可以代表负二的幂${\displaystyle (-2)^{x}}$主值的图形，蓝色是实数部、橘色是虚数部、横轴为${\displaystyle x}$、纵轴为${\displaystyle (-2)^{x}}$。只有在${\displaystyle x}$为整数时${\displaystyle (-2)^{x}}$为实数

负二的前几次幂为 -2、4、-8、16、-32、64、-128 （OEIS数列A122803）正负震荡^[41]，其中正的部分为四的幂、负的部分与四的幂差负二倍^[42]，因此这种特性使得负二成为作为底数可以不使用负号、补码等辅助方式表示全体实数的最大负数^{[41][43][44][45]}，并在1957年间有部分计算机采用负二为底之进位制的数字运算进行设计^[46]，类似地，使用2i则能表达复数^[47]。

负二的幂之和是一个发散几何级数。虽然其结果发散，但仍可以求得其广义之和，其值为1/3^[48][49]。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}}$ = 1 − 2 + 4 − 8 + …

若考虑几何级数的计算公式，则有^[50]：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}$

在首项a = 1且公比r = −2时，上述公式的结果为1/3。然而这个级数应为发散级数，其前几项的和为^[51]：

1, -1, 3, -5, 11, -21, 43, -85, 171, -341....（OEIS数列A077925）

这个级数虽然发散，然而欧拉对这个级数的结果给出了一个值，即1/3^[52]，而这个和称为欧拉之和（英语：Euler summation）^[53]。

负二次幂

数的负二次幂${\displaystyle x^{-2}}$示意图

一个可以代表数的负二次幂${\displaystyle x^{-2}}$的函数图形。数的负二次幂亦可以用平方倒数来表示，即${\displaystyle x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}}}$

若一数的幂为负二次，则其可以视为平方的倒数，这个部分用于函数也适用^[54]，而日常生活中偶尔会用于表示不带除号的单位，如加速度一般计为m/s²，而在国际单位制基本单位的表示法中也可以计为 m s^-2[6]。

而平方倒数中较常讨论的议题包括对任意实数${\displaystyle n}$而言，其平方倒数${\displaystyle n^{-2}}$结果恒正、平方反比定律^[56]、网格湍流衰减^[57]以及巴塞尔问题^[58]。其中巴塞尔问题指的是自然数的负二次方和（平方倒数和）会收敛并趋近于${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$，即^[59][58]：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n^{-2}}={1^{-2}}+{2^{-2}}+{3^{-2}}+\cdots ={1 \over 1^{2}}+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}}$

而这个值与黎曼ζ函数代入2的结果相同^[60][61]。

对任意实数而言，平方倒数的结果恒正。例如负二的平方倒数为四分之一。前几个自然数的平方倒数为：

平方倒数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle x^{-2}}$	1	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{49}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{64}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{81}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$
	1	0.25	${\displaystyle 0.{\overline {1}}}$	0.0625	0.04	${\displaystyle 0.0{\overline {27}}}$	0.0204081632....[注 3]	0.015625	${\displaystyle 0.0{\overline {1}}2345679{\overline {0}}}$	0.01

负二的平方根

负二的平方根在定义虚数单位${\displaystyle i}$满足${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$后可透过等式${\displaystyle {\sqrt {-x}}=\pm i{\sqrt {x}}}$得出，而对负二而言，则为${\displaystyle {\sqrt {-2}}=\pm i{\sqrt {2}}}$^{[注 4][62][64][65][66]}。而负二平方根的主值为${\displaystyle i{\sqrt {2}}}$^{[注 5]}。

表示方法

负二通常以在2前方加入负号表示^[67]，通常称为“负二”或大写“负贰”，但不应读作“减二”^[68]，而在某些场合中，会以“零下二”^[69][70]表达-2，例如在表达温度时^[71]。

在二进制时，尤其是计算机运算，负数的表示通常会以补码来表示^[72]，即将所有位数填上1，再向下减。此时，负二计为“......11111110₍₂₎”，更具体的，4位整数负二计为“1110₍₂₎”；8位整数负二计为“11111110₍₂₎”；16位整数负二计为“1111111111111110₍₂₎”^[73]而在使用负号的表示法中，负二计为“-10₍₂₎”^[74]。

在其他领域中

• 水星在地球上观测的视星等平均约为负二等^[75]，最大亮度则为−2.48等。^[76]
• 时区UTC-2表示比协调世界时慢2小时^[77]。
• 二(三氟甲基)硒（(CF₃)₂Se）的沸点为−2 °C。^[78]

正负二

正负二（${\displaystyle \pm 2}$）是透过正负号表达正二与负二的方式，其可以用来表示4的平方根或二次方程${\displaystyle x^{2}=4}$的解，即${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm {2}}$。正负二比负二更常出现于文化中，例如一些音乐创作^[79]或者纪录片《±2℃》讲述全球气温提升或降低两度对环境可能造成的影响^[80][81]。

参见

• 2
• 2i

注释

1. 当d<0时，若${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$的整数环为唯一分解整环，就表示${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$的数字都只有一种约数分解方式，例如${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]}$的整数环不是唯一分解整环，因为6可以以两种方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 中表成整数乘积：${\displaystyle 2\times 3}$ 和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。
2. 此指埃尔米特多项式的费马伪素数
3. 7的平方倒数之循环节有42位，0.0204081632 6530612244 8979591836 7346938775 51 ... 参阅49的倒数
4. bi-imaginary number system${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }$中，${\displaystyle R}$为负二、${\displaystyle Z_{R}}$为二的情况${\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$^[62]
5. 平方根的主值即${\displaystyle {\sqrt {-x}}=\pm i{\sqrt {x}}}$取正的值，对于负二而言，即${\displaystyle {\sqrt {-2}}=i{\sqrt {2}}}$^{[注 4][62][64][65][66]}

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