高斯整数

高斯整数是实数和虚数部分都是整数的复数。所有高斯整数组成了一个整域，写作${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$，是个不可以转成有序环的欧几里得整环。

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$

高斯整数是复数面上的整点。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

素数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

高斯整数的范数都是非负整数，定义为

${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w)}$

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$单位元${\displaystyle 1,-1,i,-i}$的范数均为${\displaystyle 1}$。

高斯整环

高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为${\displaystyle 1,-1,i,-i}$。

素元

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$的素元素又称为高斯素数。

高斯整数${\displaystyle a+bi}$是素数当且仅当：

• ${\displaystyle a,b}$中有一个是零，另一个是形为${\displaystyle 4n+3}$或其相反数${\displaystyle -(4n+3)}$的素数

或

• ${\displaystyle a,b}$均不为零，而${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$为素数。

高斯素数的分布

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数${\displaystyle g}$，${\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)}$。现在，${\displaystyle N(g)}$是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$的乘积。根据素数的定义，如果${\displaystyle g}$是素数，则它可以整除${\displaystyle p_{i}}$，对于某个${\displaystyle i}$。另外，${\displaystyle {\overline {g}}}$可以整除${\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}}$，因此${\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}}$。于是现在只有两种选择：要么${\displaystyle g}$的范数是素数，要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数${\displaystyle p}$，有${\displaystyle N(g)=p^{2}}$，那么${\displaystyle g}$和${\displaystyle {\overline {g}}}$都能整除${\displaystyle p^{2}}$。它们都不能是可逆元，因此${\displaystyle g=pu}$，以及${\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}}$，其中${\displaystyle u}$是可逆元。这就是说，要么${\displaystyle a=0}$，要么${\displaystyle b=0}$，其中${\displaystyle g=a+bi}$。

然而，不是每一个素数${\displaystyle p}$都是高斯素数。${\displaystyle 2}$就不是高斯素数，因为${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$。高斯素数不能是${\displaystyle 4n+1}$的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$的形式，其中${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是整数，且${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$。剩下的就只有形为${\displaystyle 4n+3}$的素数了。

形为${\displaystyle 4n+3}$的素数也是高斯素数。假设${\displaystyle g=p+0i}$，其中${\displaystyle p=4n+3}$是素数，且可以分解为${\displaystyle g=hk}$。那么${\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)}$。如果这个分解是非平凡的，那么${\displaystyle N(h)=N(k)=p}$。但是，任何两个平方数的和都不能写成${\displaystyle 4n+3}$的形式。因此分解一定是平凡的，所以${\displaystyle g}$是高斯素数。

类似地，${\displaystyle i}$乘以一个形为${\displaystyle 4n+3}$的素数也是高斯素数，但${\displaystyle i}$乘以形为${\displaystyle 4n+1}$的素数则不是。

如果${\displaystyle g}$是范数为素数的高斯整数，那么${\displaystyle g}$是高斯素数。这是因为如果${\displaystyle g=hk}$，那么${\displaystyle N(g)=N(h)N(k)}$。由于${\displaystyle N(g)}$是素数，因此${\displaystyle N(h)}$或${\displaystyle N(k)}$一定是1，所以${\displaystyle h}$或${\displaystyle k}$一定是可逆元。

作为整闭包

高斯整数环是${\displaystyle \mathbf {Z} }$在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环

在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$个单位。因此，${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$是一个欧几里德环，其中${\displaystyle v(z)=N(z)}$。所以，该环尤其是主理想整环，其理想皆形如${\displaystyle \langle a+bi\rangle }$。若${\displaystyle (a,b)=1}$，则对应的商是：

${\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}$^[1]

未解决的问题

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数${\displaystyle 3,7,11,19,\dots }$。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为${\displaystyle 1}$的直线上存在无穷多个高斯素数吗？

在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

参见

• 艾森斯坦整数
• 费马平方和定理
• 二次互反律

参考文献

1. 存档副本. [2022-01-01]. （原始内容存档于2015-09-23）.

• C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
• 从数到环：环论的早期历史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
• Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5