分数

分数（英语：fraction）是用分式（分数式）表达成${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$的数（${\displaystyle a,b\in Z,b\neq 0}$）。在上式之中，${\displaystyle b}$称为分母（denominator）而${\displaystyle a}$称为分子（numerator）^[1]，可视为某件事物平均分成${\displaystyle b}$份中占${\displaystyle a}$份，读作“${\displaystyle b}$分之${\displaystyle a}$”。中间的线称为分线或分数线。有时人们会用${\displaystyle a/b}$来表示分数。

此条目介绍的是数学概念的分数。关于其他领域的分数，请见“得分”。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

素数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

取出四份之一蛋糕。图中显示剩余的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虚线表示可以把蛋糕进行切割分成相等的部分。每一个蛋糕被表示为分数¼。

用法

分数有各种不同的用法与意义：

• 两个整数的比例：${\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)}$，这是两个数量的比较关系。
• 有理数：可以表达为两个整数的分数的数称为有理数。就数系来说，整数分数与有理数是同义词。
• 整数除法：${\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)}$，结果会是一个整数、有限小数或循环小数。
• 等分：${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$表示将全部分成三等份，然后只取其中的一份。这称为单位分数（unit fraction），参见古埃及分数。${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$也就是${\displaystyle 3}$这个整数的倒数。

这些概念在数学里都是相通的，只是在不同的使用场合中有其实际意义。

分类

最简分数（既约分数）（irreducible fraction）

分子是整数，分母是正整数，且分子和分母互素的分数。例如：${\displaystyle {\frac {4}{~{}15~{}}}}$

真分数（proper fraction）

除商小于1、大于0的分数，即分子小于分母的分数。当分子一样大的时候，分母越大则值就越小，当分母一样的时候，分子越大，数值就越大。例如：${\displaystyle {\frac {3}{~{}7~{}}}}$

假分数（top-heavy/improper fraction）

假分数是指除商不小于1的分数，即分子等于或大于分母的分数，可写成带分数。例如：${\displaystyle {\frac {5}{~{}3~{}}}}$和${\displaystyle {\frac {8}{~{}8~{}}}}$

带分数（mixed numeral、mixed fraction、mixed number^[1]）

一个整数（whole number）加一个真分数，例如${\displaystyle a{\frac {b}{c}}}$，读作“a又c分之b”；又例如${\displaystyle 1{\frac {1}{~{}2~{}}}}$，就是一又二分之一。可写成假分数，与${\displaystyle {\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}}$等价。

十进制分数（decimal fraction）

分母为${\displaystyle 10}$的次方的分数称为十进制分数，通常使用小数的形式来表达，例如，${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$一般记为${\displaystyle 0.01}$，也可以百分率简记为${\displaystyle 1\%}$，或是以${\displaystyle 10}$的幂记为${\displaystyle 10^{-2}}$。

单位分数

分子为1，分母是整数的分数。也可视为该整数的倒数。例如：${\displaystyle {\frac {1}{~{}99~{}}}}$

古埃及分数（Egyptian fraction）

将分数表达成单位分数之和。例如：${\displaystyle {\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}}$

繁分数

分子和/或分母包含了分数的分数，例如${\displaystyle {\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}}$。可以用“外乘外、内乘内”的方法简化，即前面的式子等于${\displaystyle {\frac {ad}{~{}bc~{}}}}$。

连分数

外观如${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}}$的分数，其中${\displaystyle a_{i}}$是整数。若只有有限个${\displaystyle a_{i}}$非零，则连分数是一个分数。

分数运算

分数如自然数般，跟从互联律、结合律、分配律和反除以零的规则。

约分、扩分及通分

一个分数约分后或扩分后，其分数与原来之分数的值相等，称为等值分数。

约分

“约分”是将一个分数的分子和分母同除以一个比1大的整数（它们的公约数）。 约分后的分数和原来分数的值相等。${\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}$

前面的数字的分子和分母皆除以三

扩分

“扩分”是将一个分数的分子和分母同乘以比1大的数。扩分后的分数和原来分数的值相等。${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}}$

前面的数字的分子和分母皆乘以二

通分

“通分”是利用约分或扩分，将两个分母不同的分数，分别化为同分母的分数。

加法及减法

笔算分数的加减法时，必须将分母用予倍的方法化成同一数字才能进行同级分数之和或差，这个过程称为“扩分”、“通分”、“通分母扩分子”等等，为了方便地求得所须分母，计算时一般以加数和被加数的最小公倍数作为新的分母。然后将事先倍大了的分子加上，合成和后再作约简。例如：

• ${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}}$

乘法及除法

分数乘法最晚在中国秦代即有，里耶秦简博物馆馆长彭成刚表示：里耶秦简秦朝“九九表”每枚木牍上竖写的数字连起来就是一个乘法运算，更为惊奇的是，中国当时还出现了分数乘法，例如二乘以二分之一等于一。分数的乘除无视分子母的特性，将分子和分母各自处理便可，但是由于整数除法亦容易引起小数，加上不适合出现于分数形式，而且除法也是乘法的逆函数，故此计算时一般将被除数化成其倒数，把除法改为乘法较为方便。例如：

${\displaystyle \quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}}$

相关话题

• 有理数
• 倒数
• 除以零
• 法里数列
• 连分数
• 分母有理化
• 偶然对消

参考文献

1. Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始内容存档于2020-11-27）.

外部链接

• Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始内容存档于2014-10-21）.
• 埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld.
• Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. （原始内容存档于2015-04-26）.
• Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. （原始内容存档于2020-11-07）.
• Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始内容存档于2011-10-11）.
• Online program for exact conversion between fractions and decimals
• Online Fractions Calculator with detailed solution
• Fraction Practice （页面存档备份，存于互联网档案馆） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.