一般线性群
维基百科,自由的 encyclopedia
在数学中,n 次一般线性群是 n×n 可逆矩阵的集合,和与之一起的普通矩阵乘法运算。这形成了一个群,因为两个可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵,而可逆矩阵的逆元还是可逆矩阵。叫这个名字是因为可逆矩阵的纵列是线性无关的,因此它们定义的向量/点是在一般线性位置上的,而在一般线性群中的矩阵把在一般线性位置上的点变换成在一般线性位置上的点。
Quick Facts 群论, 基本概念 ...
群论 | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||
群 | ||||||||||
| ||||||||||
Close
为了使定义更明确,必需规定哪类对象可以成为矩阵的元素。例如,在 R(实数集)上的一般线性群是实数的 n×n 可逆矩阵的群,并指示为 GLn(R)或 GL(n, R)。
更一般的说,在任何域 F(比如复数集)或环 R(比如整数集的环)上的 n 次一般线性群是带有来自 F(或 R)的元素的 n×n 可逆矩阵的群,带有矩阵乘法作为群运算。[1]典型符号是 GLn(F)或 GL(n, F),如果域是自明的也可简写为 GL(n)。
更一般的说,向量空间的一般线性群 GL(V)仍是抽象自同构群,不必需写为矩阵。
特殊线性群,写为 SL(n, F)或 SLn(F),是由行列式 =1的矩阵构成的 GL(n, F)的子群。
群 GL(n, F)和它的子群经常叫做线性群或矩阵群(抽象群 GL(V)是线性群但不是矩阵群)。这些群在群表示理论中是重要的,并引发对空间对称和一般向量空间对称的研究,还有多项式的研究。模群可以实现为特殊线性群SL(2, Z)的商群。
如果 n ≥ 2,则群 GL(n, F)不是阿贝尔群。