Правильний трикутник

Правильний трикутник (тригон від грец. τρεῖς - три та γωνία -кут) — трикутник, у якого всі сторони і кути рівні. Тому його також називають рівностороннім трикутником.

Правильний трикутник
Тип	Правильний багатокутник
Властивості	Опуклий, рівносторонній
Елементи	3 ребра 3 вершини
Позначення
Символ Шлефлі	{3}
Діаграма Коксетера-Динкіна	або (x3o)
Група симетрії	D3, порядок 6 (Діедральна група)
Двоїстий	Самодвоїстий

Також, правильний трикутник — геометрична фігура, правильний багатокутник з трьома сторонами.

Усі внутрішні кути правильного трикутника дорівнюють 60° (або ${\displaystyle \pi }$/3 радіан).

Правильний трикутник має три ліній дзеркальної симетрії, що проходять через його висоти, і обертову симетрію 3-го порядку навколо центра О (на кути 60°, 120° і 360°), тобто група рухів (самосуміщень) площини для правильного трикутника складається з 6 елементів.

Формули

Нехай сторона правильного трикутника дорівнює ${\displaystyle a}$. Тоді:

Периметр: ${\displaystyle P=3a\,\!}$;

Висота трикутника ‒ відстань від вершини до протилежної сторони: ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a=3\cdot r={\frac {3}{2}}\cdot R}$;

${\displaystyle h=r+R}$

Апофема ‒ відстань від центру до сторони: ${\displaystyle a_{p}=r={\frac {1}{3}}\cdot h}$

Радіус вписаного кола (дотикається до всіх його сторін):

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}\cdot a={\frac {1}{2}}\cdot R={\frac {1}{3}}\cdot h}$;

Радіус описаного кола ‒ проходить через всі його вершини:

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot a=2\cdot r={\frac {2}{3}}\cdot h}$

Радіус зовнівписаного кола ‒ дотикається до сторони та продовження двох інших сторін:

${\displaystyle r_{a}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a=3\cdot r={\frac {3}{2}}\cdot R=h}$

Площа правильного трикутника: ${\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}=3{\sqrt {3}}\cdot r^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot R^{2}={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot h^{2}}$

Усі ці формули можна вивести з теореми Піфагора.

Властивості

• Правильний трикутник має всі властивості, притаманні правильному багатокутнику та трикутнику.
• Правильний трикутник є одночасно і рівностороннім і рівнокутним (за означенням).
• В правильному трикутнику його висоти збігаються з його медіанами та бісектрисами кутів. Висоти, медіани та бісектриси перетинаються в одній точці - центрі правильного трикутника, яка лежить на його висоті на відстані 1/3 h від основи, тобто точкою перетину діляться у відношенні ${\displaystyle 1:2}$ від основи.
• Центри вписаного та описаного кола збігаються і лежать в центрі правильного трикутника.
• В правильному трикутнику всі чудові точки трикутника знаходяться в його геометричному центрі. Це означає, що рівносторонній трикутник є єдиним трикутником, у якого немає лінії Ейлера.
  • Трикутник є рівностороннім, якщо збігаються будь-які два з його центрів:центр описаного кола, інцентр (центр вписаного кола), центроїд або ортоцентр.^{[1]:стор.37}
  • Він також є рівностороннім, якщо його центр описаного кола збігається з точкою Наґеля або якщо його центр вписаного кола збігається з центром кола дев’яти точок.^[2]
• В правильному трикутнику коло дев'яти точок збігається з вписаним колом.
• Правильні трикутники є гранями для 8 опуклих багатогранників: трьох тіл Платона (правильного тетраедра, октаедра та ікосаедра), а також п'яти тіл Джонсона. Багатогранники, всі грані яких - правильні трикутники, називаються дельтаедрами.
• Також правильний трикутник є гранню для одного тіла Кеплера-Пуансо, а саме великого ікосаедра.
• Правильний трикутник ‒ один із двох правильних багатокутників, що не має зірчастої форми; інший — квадрат.

Паркет з рівносторонніх трикутників

• Правильними трикутниками можна замостити площину без проміжків та накладень. Також в усіх напівправильних мозаїках^[en] присутній рівносторонній трикутник ^[3].
• Правильний трикутник є першим в нескінченній родині правильних багатокутників, та третім в нескінченному сімействі n- симплексів, при n = 2.^[4]

Теореми, пов'язані з правильним трикутником

• Теорема Вівіані:

У будь-якому рівносторонньому трикутнику ABC сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки трикутника до його сторін дорівнює висоті трикутника.

• Теорема Морлі:

Точки перетину суміжних трисектрис кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника.

• Теорема Наполеона:

Якщо на кожній стороні трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.

• Теорема Помпею:

Для довільного рівностороннього трикутника ${\displaystyle \scriptstyle ABC}$ та довільної точки ${\displaystyle \scriptstyle P}$ в його площині відрізки ${\displaystyle \scriptstyle PA}$, ${\displaystyle \scriptstyle PB}$ та ${\displaystyle \scriptstyle PC}$ є сторонами трикутника (можливо, виродженого).

• Теореми Тебо 2 и 3
• Для будь-якого трикутника три медіани ділять трикутник на шість менших трикутників.
  1. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли будь-які три менших трикутника мають однаковий периметр або однаковий радіус.^{[5]:Теорема 1}
  2. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли центри описаного кола будь-яких трьох менших трикутників знаходяться на однаковій відстані від центроїда.^{[5]:Наслідок7}
• На плошині дано трикутник і довільну точку P.

${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ , ${\displaystyle r}$ ‒ відстані від точки P до сторін трикутника; ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ ‒ відстані від точки P до вершин трикутника.

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли для кожної точки P площини виконується нерівність:^{[6] :стор.178,#235.4}$${\displaystyle 4\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$$

Геометрична побудова

Креслення рівнобічного трикутника за допомогою циркуля та лінійки.

Рівносторонній трикутник можна накреслити за допомогою циркуля та лінійки. Для цього необхідно виконати такі дії:

1. Провести пряму та поставити на неї циркуль гострим кінцем;
2. Провести коло;
3. Поставити циркуль в одну із точок перетину кола та прямої, провести ще одне коло такого ж радіусу;
4. З'єднати прямими центри кіл та точку перетину цих кіл.

Альтернативний спосіб:

1. Накреслити коло довільного радіусу;
2. Поставити циркуль на це коло і накреслити ще одне коло такого ж радіусу;
3. Ці два кола перетинаються в двох точках, кожна з точок перетину разом із центрами кіл утворюють правильні трикутники.

Див. також

• Задача про голку
• Правильний многокутник
• Трикутник
• Трикутні числа
• Трикутний паркет

Примітки

1. Yiu, Paul (1998). Notes on Euclidean Geometry (PDF). Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences (Course Notes). Архів оригіналу (PDF) за 2 березня 2019. Процитовано 16 липня 2023.
2. Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Complex Numbers from A to...Z. Boston, MA: Birkhäuser. с. 70, 113—115. doi:10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. S2CID 118951675.
3. Grünbaum Branko; Shepard Geoffrey (November 1977). Tilings by Regular Polygons (PDF). Mathematics Magazine. Taylor & Francis, Ltd. 50 (5): 231–234. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. MR 1567647. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006. Архів оригіналу (PDF) за 3 березня 2016. Процитовано 16 липня 2023.
4. H. S. M. Coxeter (1948). Regular Polytopes. London: Methuen & Co. LTD. с. 120—121. OCLC 4766401. Zbl 0031.06502.
5. Cerin, Zvonko (2004). The vertex-midpoint-centroid triangles (PDF). Forum Geometricorum. 4: 97—109. Архів оригіналу (PDF) за 18 червня 2013. Процитовано 16 липня 2023.
6. Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum" (PDF).

Джерела

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — К.: Генеза, 2005. —120 с.: іл. — ISBN 966-504491-1
• Рівносторонній трикутник: означення, властивості, приклади

Посилання

• Politope Wiki. Triangle
• Weisstein, Eric W.Triangle. MathWorld.