Бісектриса

Бісектри́са (двосічна)^[1] (лат. bissectrix, род. відм. bissectricis; від bis — «двічі» + secare — «розсікати», «розтинати») — термін, що вживається в геометрії для позначення кількох споріднених понять^[2]:

• Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл.
• Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Бісектриса кута

Властивості

Побудова бісектриси

• Кожна точка бісектриси кута однаково віддалена від його сторін.
• Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
• Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка — центр одного з трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.
• Основи бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежній стороні трикутника.
• Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх основи лежать на одній прямій.
• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений (теорема Штейнера — Лемуса).
• Побудова трикутника за трьома заданим бісектрисами за допомогою циркуля та лінійки неможлива,^[3] причому навіть за наявності трисектора.^[4]
• В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
• Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини.

Формули за участю довжини бісектриси

Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD: DC = AB: AC

${\displaystyle l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}}$

${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}}$

${\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}$

${\displaystyle l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$

Де:

• ${\displaystyle l_{c}}$ — бісектриса, проведена до сторони с
• ${\displaystyle a,b,c}$ — сторони трикутника проти вершин A, B,C відповідно
• ${\displaystyle a_{l},b_{l}}$ — довжини відрізків, на які бісектриса ${\displaystyle l_{c}}$ ділить сторону с
• ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ — внутрішні кути трикутника, що лежать навпроти сторін а, b,c відповідно
• ${\displaystyle h_{c}}$ — висота трикутника, опущена на сторону c.

Див. також

• Теорема про бісектрису

Примітки

1. M.Zharkikh. Орися Демська-Кульчицька - Д – Й. www.myslenedrevo.com.ua. Архів оригіналу за 13 липня 2018. Процитовано 13 липня 2018.
2. «Бісектриса» [Архівовано 10 червня 2014 у Wayback Machine.] в УРЕ
3. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам? [Архівовано 18 жовтня 2009 у Wayback Machine.]. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. (рос.)
4. Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор [Архівовано 26 серпня 2015 у Wayback Machine.]. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. (рос.)

Джерела

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
• Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
• Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5