Бісектриса

Бісектри́са (двосічна)^[1] (лат. bissectrix, род. відм. bissectricis; від bis — «двічі» + secare — «розсікати», «розтинати») — термін, що вживається в геометрії для позначення кількох споріднених понять^[2]:

• Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл.
• Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Бісектриса кута

Властивості

Побудова бісектриси

• Кожна точка бісектриси кута однаково віддалена від його сторін.
• Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
• Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка — центр одного з трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.
• Основи бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежній стороні трикутника.
• Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх основи лежать на одній прямій.
• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений (теорема Штейнера — Лемуса).
• Побудова трикутника за трьома заданим бісектрисами за допомогою циркуля та лінійки неможлива,^[3] причому навіть за наявності трисектора.^[4]
• В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
• Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини.

Формули за участю довжини бісектриси

Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD: DC = AB: AC

${\displaystyle l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}}$

${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}}$

${\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}$

${\displaystyle l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$

Де:

• ${\displaystyle l_{c}}$ — бісектриса, проведена до сторони с
• ${\displaystyle a,b,c}$ — сторони трикутника проти вершин A, B,C відповідно
• ${\displaystyle a_{l},b_{l}}$ — довжини відрізків, на які бісектриса ${\displaystyle l_{c}}$ ділить сторону с
• ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ — внутрішні кути трикутника, що лежать навпроти сторін а, b,c відповідно
• ${\displaystyle h_{c}}$ — висота трикутника, опущена на сторону c.

Див. також

• Теорема про бісектрису