Подовжений трисхилий купол

Рівносторонній подовжений трисхилий купол є одним із багатогранників Джонсона (J₁₈ або M₄ +П₆ (за Залгаллером^[1]).

Подовжений трисхилий купол
Тип	Багатогранник Джонсона J18.
Властивості	Опуклий, рівносторонній, правильногранний
Комбінаторика
Елементи	14 граней ((3+1){3} + 3x3{4} + 1{6}) 27 ребер 15 вершин: 6 вершин (3-го степеня) + [6+3](4-го)
Грані	4=3+1 Правильних трикутників, 9=3x3 Квадратів, 1 Правильний шестикутник.
Характеристика Ейлера	${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2}$
Конфігурація вершини	6(42.6) 3(3.4.3.4) 6(3.43)
Вершинна фігура	3 прямокутника з довжинами сторін 1 та ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 6 рівнобедрених трикутників з довжинами сторін ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 6 рівнобедрених трапецій з довжинами сторін ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
Класифікація
Позначення	• J18 (в нотації Нормана Джонсона[en]) • M4+ П6 (в нотації Залгаллера[1]) • Q3P6 [2] :стор.187 (в нотації Конвея[en])
Група симетрії	C3v[en], [3], (*33), порядок 6 (Циклічна симетрія 3-Піраміди)
Група поворотів	C3, [3]+, (33), порядок 3
Двоїстий багатогранник
Розгортка

Багатогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих багатогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним багатогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні багатогранники названі ім'ям Нормана Джонсона^[en], який першим перелічив їх в 1966 р. ^[2]

Подовжений трисхилий купол утворюється поєднанням трисхилого купола та правильної рівносторонньої шестикутної призми по їх шестикутним граням.

Подовжений трисхилий купол складено з 14 граней: 3+1 = 4 правильних трикутників, 3х3 = 9 квадратів та 1 правильного шестикутника.

Чотири трикутних граней оточені трьома квадратами; три квадратні грані оточені трьома трикутними та однією квадратною гранями; три квадратні грані оточені трьома квадратними та однією шестикутною гранями; три квадратні грані оточені однією трикутною, двома квадратними та однією шестикутною гранями; шестикутна грань оточена шістьма квадратними гранями.

Має 27 ребер однакової довжини: 3+6= 9 ребер розташовані між двома квадратними гранями, 3+3+6=12 ребер — між трикутною та квадратною гранями, решта 6 — між квадратною та шестикутною гранями.

У подовженого трисхилого купола 15 вершин: 3 вершини оточені двома трикутними та двома квадратними гранями (почергово); 6 вершин оточені трикутною та трьома квадратними гранями; 6 вершин оточені двома квадратними та шестикутною гранями.

Подовжений трисхилий купол

Подовжений трисхилий купол має вісь поворотної симетрії 3-го порядку, що проходить через центри трикутної та шестикутної паралельних граней; а також три площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої (шестикутної) основи.

Центру симетрії не має.

Подовжений трисхилий купол не належить до елементарних багатогранників Джонсона ^{[2]:Стор.174}, так як його можна розділити площиною на два менших опуклих багатогранника з правильними гранями, а саме на трисхилий купол (J₃) та рівносторонню шестикутну призму.

Формули

Діагоналі

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: ${\displaystyle {\binom {B}{2}}-P}$ , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника.

Для подовженого трисхилого купола:

${\displaystyle {\binom {15}{2}}-27={\frac {15}{2}}\cdot {\frac {14}{1}}-27=78}$ діагоналей (27 граневих та 51 просторових).

Діагоналі подовженого трисхилого купола з довжиною ребра ${\displaystyle a}$
	Граневі діагоналі	${\displaystyle AB={\sqrt {2}}\cdot a\approx 1.41421356237\cdot a}$ ${\displaystyle HE={\sqrt {3}}\cdot a\approx 1.73205080756\cdot a}$ ${\displaystyle HF=2\cdot a}$
	Просторові діагоналі	${\displaystyle AC=KB={\sqrt {3}}\cdot a\approx 1.73205080756\cdot a}$ ${\displaystyle KC=KE=2\cdot a}$ ${\displaystyle KF={\sqrt {5}}\cdot a\approx 2.2360679775\cdot a}$ ${\displaystyle AD={\sqrt {\frac {2\left(3+{\sqrt {6}}\right)}{3}}}\cdot a\approx 1.90604122774\cdot a}$ ${\displaystyle AE={\sqrt {\frac {9+2{\sqrt {6}}}{3}}}\cdot a\approx 2.152438886903\cdot a}$ ${\displaystyle AF={\sqrt {\frac {2\left(6+{\sqrt {6}}\right)}{3}}}\cdot a\approx 2.373392753392\cdot a}$

Метричні характеристики

Для подовженого трисхилого купола з довжиною ребра ${\displaystyle a}$:
Вписаної, напіввписаної та описаної сфер подовжений трисхилий купол не має
Висота H (Відстань між паралельними трикутною та шестикутною гранями)	${\displaystyle H=\left(1+{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)\cdot a}$	${\displaystyle \approx 1.81649658\cdot a}$
Площа поверхні	${\displaystyle S=\left(9+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)\cdot a^{2}}$	${\displaystyle \approx 13.33012701\cdot a^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}{6}}\cdot a^{3}}$	${\displaystyle \approx 3.77658751333\cdot a^{3}}$
Сферичність	${\displaystyle \Psi ={\frac {2{\sqrt[{3}]{(293+90{\sqrt {6}})\pi }}}{18+5{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle \Psi \thickapprox 0.8797978}$

Кути

Плоскі кути граней при вершинах: 60°, 90°, 120°.

Кути багатогранника
Кут між несусідніми ребрами при вершині верхньої основи	${\displaystyle \varphi =\arccos \left(-{\frac {1}{2}}\right)}$	${\displaystyle ={\frac {2\pi }{3}}}$ рад = 120°
Двогранний кут між гранями {3} та {4} (грані трисхилого купола)	${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)=\operatorname {arcsec} \left(-{\sqrt {3}}\right)}$	≈ 2.1862760354 рад ≈ 125°15′ 51.8028′′
Двогранний кут між гранями {3} та {4} (грані між трисхилим куполом та призмою)	${\displaystyle \beta =\arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)}$	≈ 2.8017557441 рад ≈ 160°31′ 43.6057′′
Двогранний кут між гранями {4} та {4} (грані між трисхилим куполом та призмою)	${\displaystyle \gamma =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)}$	≈ 2.5261129449 рад ≈ 144°44′ 8.1971′′
Двогранний кут між гранями {4} та {4} (грані шестикутної призми)	${\displaystyle \delta =\arccos \left(-{\frac {1}{2}}\right)}$	= ${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$ рад = 120°
Двогранний кут між гранями {4} та {6}		= ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ рад = 90°
Тілесний кут при вершині нижньої основи (шестикутної)		${\displaystyle \Omega ={\frac {2\pi }{3}}}$ ср
Тілесний кут при вершині 4.4.4.3 (стик купола та призми)	${\displaystyle \Omega _{1}={\frac {2\pi }{3}}+{\frac {1}{2}}\arccos \left(-{\frac {7}{9}}\right)=}$ ${\displaystyle ={\frac {2\pi }{3}}+4\arctan \left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle \Omega _{1}}$ ≈ 3.3253545197 ср
Тілесний кут при вершині верхньої основи (трикутної)	${\displaystyle \Omega _{2}=\arccos \left(-{\frac {7}{9}}\right)=4\arcsin \left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)=}$ ${\displaystyle =8\arctan \left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle \Omega _{2}}$ ≈ 2.461918834 ср

Центр мас подовженого трисхилого купола лежить на його осі симетрії на відстані ${\displaystyle {\frac {421+65{\sqrt {6}}}{772}}\cdot a\approx 0.7515762\cdot a}$ від нижньої (шестикутної) основи ^[3].

Координати вершин

Координати вершин подовженого трисхилого купола з довжиною ребра a = 1: ^[4]

• ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{3}},0,{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)}$, ${\displaystyle \left(-{\frac {\sqrt {3}}{6}},\pm {\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)}$ — ці координати визначають три вершини верхньої трикутної грані.
• ${\displaystyle \left(0,\pm 1,0\right)}$, ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}},\pm {\frac {1}{2}},0\right)}$, ${\displaystyle \left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}},\pm {\frac {1}{2}},0\right)}$ — ці координати визначають шість вершин, що лежать між верхньою (трикутною) та нижньою (шестикутною) паралельними гранями.
• ${\displaystyle \left(0,\pm 1,-1\right)}$, ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}},\pm {\frac {1}{2}},-1\right)}$, ${\displaystyle \left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}},\pm {\frac {1}{2}},-1\right)}$ — ці координати визначають шість вершин нижньої (шестикутної) грані.

При цьому вісь симетрії подовженого трисхилого купола співпадає з віссю координат Oz, а площина координат xOz співпадає з однією з площин симетрії багатогранника.

Двоїстий багатогранник

Подовжений трисхилий купол не має канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників співпадають).

Його топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням симетрії початкового багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до початкового подовженого трисхилого купола можуть різнитися.

Двоїстий багатогранник до подовженого трисхилого купола (3-D модель, dJ18),

має 15 граней: 3 дельтоїда, 6 трикутників, 6 чотирикутників; 27 ребер, 14 вершин.

Двоїстий багатогранник	Розгортка двоїстого	Поєднання подовженого трисхилого купола та його двоїстого багатогранника

Замощення простору

Замостити тривимірний простір без проміжків та накладень можна за допомогою подовжених трисхилих куполів, квадратних пірамід (J₁) та правильних тетраедрів. ^[5]

Примітки

1. Залгаллер, 1967.
2. Norman W. Johnson.
3. Elongated triangular cupola centroid - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.). Процитовано 1 жовтня 2023.
4. Elongated triangular cupola vertex coordinates - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.). Процитовано 8 жовтня 2023.
5. J18 honeycomb. woodenpolyhedra.web.fc2.com. Процитовано 8 жовтня 2023.

Література

• Norman W. Johnson^[en]. Convex Solids with Regular Faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — ISSN 0008-414X. — DOI:10.4153/CJM-1966-021-8. (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
• Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями. — м.—л. : наука, 1967. — Т. 2. — 221 с. — (Зап. научн. сем. ЛОМИ) (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)

Посилання

• Weisstein, Eric W. Elongated Triangular Cupola(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Elongated triangular cupola(англ.) на сайті Polytope Wiki.
• McCooey, David.Elongated Triangular Cupola
• Klitzing, Richard. "etcu"
• Quickfur. «The Elongated Triangular Cupola»