Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору
в скалярне поле
, що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:
![{\displaystyle B:V\times V\to F,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01de82ea2e18b8e23ee353062a0e19b95be0820a)
скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа
чи комплексні числа
.
![{\displaystyle B({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {u'}},{\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})+B({\boldsymbol {u'}},{\boldsymbol {v}}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8138e1dc2dea3bce332264895e7c83f421300792)
![{\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v'}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})+B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v'}}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8fba0c8b1f72cb3590446b60bedc7eac03f623)
![{\displaystyle B(\lambda {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {u}},\lambda {\boldsymbol {v}})=\lambda \,B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9935673150c187d57b866dcdb1c54e4080f9e240)
Білінійна форма
називається спряженою до форми
і позначається
.
Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.
Скалярний добуток на
є прикладом білінійної форми.[1].
Означення білінійної форми можна розширити на модулі над кільцем, де лінійне відображення замінюється гомоморфізмом модулів[en].
Якщо
— поле комплексних чисел
, тоді часто більш цікавими об'єктами є півторалінійні форми, які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є лінійно-спряженими[en].