![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/-bertsomate-_Zenbaki_konplexuak.webm/640px---bertsomate-_Zenbaki_konplexuak.webm.jpg&w=640&q=50)
Комплексне число
розширення поля дійсних чисел / З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Шановний Wikiwand AI, Давайте зробимо це простіше, відповівши на ключові запитання:
Чи можете ви надати найпопулярніші факти та статистику про Комплексне число?
Підсумуйте цю статтю для 10-річної дитини
Ко́мпле́ксні чи́сла — розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається .
Будь-яке комплексне число може бути зображено формальною сумою
, де
і
— дійсні числа,
— уявна одиниця[1].
Комплексне число | |
Ким названо | Лазар Карно |
---|---|
Наступник | кватерніони |
Формула |
|
Позначення у формулі |
|
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
![]() | |
Протилежне | дійсне число |
![]() |
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Venn_Diagram_of_Numbers.svg/languk-320px-Venn_Diagram_of_Numbers.svg.png)
колами Ейлера
Комплексні числа утворюють алгебрично замкнуте поле — це означає, що многочлен степеня n із комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів (основна теорема алгебри). Це є головною причиною широкого застосування комплексних чисел у математиці. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно й компактно формулювати багато математичних моделей у фізиці.
Поле комплексних чисел можна розглядати як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен має корінь. Наступна модель показує можливість побудови такої системи чисел. Усі змісти комплексних чисел є ізоморфними розширеннями поля дійсних чисел
, як і будь-які інші конструкції поля розкладання многочлена
.
Комплексне число можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел
, а операції додавання й множення таких пар визначено таким чином:
Дійсні числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і подані парами виду , причому операції з такими парами узгоджено зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль зображується парою
, одиниця —
, а уявна одиниця —
. На множині комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що й на множині дійсних, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює
, тобто
.
Нескладно показати, що визначені вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є тільки властивості, пов'язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.
Відомо також кілька узагальнень комплексних чисел, таких як кватерніони.