Asal sayı

Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım (2 × 2) şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Bileşik sayılar, dikdörtgen biçimlerine düzenlenebilirken, asal sayıların bu biçimde düzenlenmesi mümkün değildir.

Bir sayının asal oluş özelliği, asallık olarak tanımlanır. Verilen bir ${\displaystyle n}$ sayısının asallığını denetlemek için kullanılan basit fakat zaman alıcı bir yöntem olan asallık testi, ${\displaystyle n}$ sayısının 2 ile ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ arasındaki herhangi bir tam sayıya katı olup olmadığını sınar. Daha hızlı algoritmalar arasında, hızlı olmasına karşın küçük bir hata payı barındıran Miller–Rabin asallık testi ve her zaman polinom zamanında doğru sonucu veren fakat pratikte uygulanabilirliği sınırlı olan AKS asallık testi yer alır. Mersenne sayıları gibi özel biçimlere sahip sayılar için özellikle hızlı yöntemler mevcuttur. (21 Ekim 2024 (2024-10-21) itibarıyla), bilinen en büyük asal sayı, 41.024.320 ondalık basamağa sahip bir Mersenne asalıdır.^[1]

M.Ö. 300 civarında Öklid tarafından ispatlandığı gibi, asal sayılar sonsuz bir kümedir. Asal sayılar ile bileşik sayıları birbirinden ayıran kesin ve basit bir formül bulunmamaktadır. Bununla birlikte, doğal sayılar arasındaki asal sayıların dağılımı, genel olarak istatistiksel yöntemlerle modellenebilir. Bu bağlamda elde edilen ilk önemli sonuç, 19. yüzyılın sonlarında ispatlanan asal sayı teoremidir; bu teori, büyük bir sayının rastgele seçilmesi durumunda asal olma olasılığının, sayının basamak sayısına, yani logaritmasına ters oranlı olduğunu ifade eder.

Asal sayılara ilişkin tarihsel bazı sorular henüz çözüme kavuşturulmamıştır. Bu sorular içerisinde her 2'den (En küçük asal sayı 2'dir.^[2]) büyük çift tam sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ileri süren Goldbach'ın hipotezi ve ikişer rakam aralıkla sınırsız sayıda ikiz asal sayı çiftinin var olduğunu iddia eden ikiz asal hipotezi yer almaktadır. Bu tür sorular, sayıların analitik ve cebirsel boyutları üzerine yoğunlaşan sayı teorisi alanlarının gelişimini hızlandırmıştır. Asal sayılar, bilgi teknolojisi alanında, özellikle de büyük sayıların asal çarpanlara ayrılmasının güçlüğüne dayanan açık anahtarlı kriptografi gibi çeşitli işlemlerde kullanılmaktadır. Soyut cebirde, asal sayılara genelleştirilmiş bir biçimde benzeyen yapılar arasında asal elemanlar ve asal idealler sayılabilir.

Tanım ve örnekler

Bir doğal sayı (1, 2, 3, 4, 5, 6, vb.), 1'den büyük olması ve kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilememesi durumunda asal sayı olarak nitelendirilir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayılar adı verilir.^[3] Diğer bir ifadeyle, eğer ${\displaystyle n}$ sayısı, kendinden küçük birden fazla eşit parçaya bölünemez ise,^[4] ya da ${\displaystyle n}$ kadar nokta tam bir dikdörtgen olarak şekillendirilemez ise^[5], ${\displaystyle n}$ bir asal sayıdır.

Örneğin, 1 ile 6 arasındaki sayılar içinde, 2, 3 ve 5 sayıları asal sayılardır,^[6] zira bu sayıları kendinden başka tam bölebilen (kalan bırakmaksızın) başka bir sayı yoktur. 1 sayısı, tanım gereği asal olarak kabul edilmez. 4 = 2 × 2 ve 6 = 2 × 3 her ikisi de bileşik sayı kategorisindedir.

Cuisenaire çubukları kullanılarak yapılan gösterim, 7 sayısının asal olduğunu, çünkü 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarıyla tam olarak bölünemediğini ortaya koyuyor

Bir doğal sayı ${\displaystyle n}$'in bölenleri, ${\displaystyle n}$ sayısını eşit olarak bölebilen doğal sayılardır. Her doğal sayı, kendisi ve 1 olmak üzere iki temel bölene sahiptir. Eğer bir sayının bu ikisinden başka bir böleni varsa, asal sayı olamaz. Bu durum, asal sayıların alternatif bir tanımını sunar: Yalnızca iki pozitif bölene sahip olan sayılar asal sayılardır. Bu iki bölen, 1 ve sayının kendisidir. Tek bir bölene sahip olan 1 sayısı, bu tanım çerçevesinde asal kabul edilmez.^[7] Aynı kavramı başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bir sayı ${\displaystyle n}$, 1'den büyükse ve ${\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}$ sayılarından hiçbiri ${\displaystyle n}$ sayısını eşit bölmezse, o sayı asaldır.^[8]

İlk 25 asal sayı (100'den küçük tüm asal sayılar) şunlardır:^[9]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (OEIS'de A000040 dizisi).

2'den büyük hiçbir çift sayı ${\displaystyle n}$ asal olamaz çünkü herhangi bir böyle sayı ${\displaystyle 2\times n/2}$ olarak ifade edilebilir. Bu nedenle, 2 dışındaki her asal sayı bir tek sayıdır ve tek asal olarak adlandırılır.^[10] Benzer şekilde, alışılagelmiş ondalık sistemde yazıldığında, 5'ten büyük tüm asal sayılar 1, 3, 7 veya 9 ile biter. Diğer rakamlarla biten sayılar hep bileşiktir: 0, 2, 4, 6 veya 8 ile biten ondalık sayılar çifttir ve 0 veya 5 ile biten ondalık sayılar 5'e bölünebilir.^[11]

Tüm asalların kümesi bazen ${\displaystyle \mathbf {P} }$ (kalın harflerle büyük bir P)^[12] veya ${\displaystyle \mathbb {P} }$ (tahtaya yazı tipiyle büyük bir P) ile gösterilir.^[13]

Tarihçe

Rhind Papirüsü

M.Ö. 1550 civarından kalan Rhind Papirüsü, asal ve bileşik sayılar için farklı formdaki Mısır kesri genişlemelerini içerir.^[14] Ancak, asal sayıların incelenmesine dair en eski kayıtlar antik Yunan matematikçilerinden gelmektedir, onlar bu sayılara prōtos arithmòs (Grekçe: πρῶτος ἀριθμὸς) demektedirler. Öklid'in Elementleri (M.Ö. 300 civarı) asal sayıların sonsuzluğunu ve aritmetiğin temel teoremini kanıtlar ve bir Mersenne sayısından nasıl bir mükemmel sayı oluşturulacağını gösterir.^[15] Başka bir Yunan icadı olan Eratosten kalburu, asal sayı listeleri oluşturmak için hala kullanılmaktadır.^[16][17]

Miladi 1000 yıllarında, İslam dönemi matematikçisi İbnü'l-Heysem, asal sayıları, ${\displaystyle (n-1)!+1}$ ifadesini tam bölünebilen ${\displaystyle n}$ sayıları olarak tanımlayan Wilson teoremi'ni buldu. Ayrıca, tüm çift mükemmel sayıların Öklid'in Mersenne asallarını kullanarak yapılan inşasından geldiğini öne sürdü ancak bunu kanıtlayamadı.^[18] Bir diğer İslam dönemi matematikçisi, Ibn al-Banna' al-Marrakushi, Eratosten kalburunun, üst sınırın kareköküne kadar olan asal bölenleri dikkate alarak hızlandırılabileceğini gözlemledi.^[17] Fibonacci, İslami matematikten gelen yenilikleri Avrupa'ya taşıdı. Onun kitabı Liber Abaci (1202), asallığı test etmek için deneme bölmesini tanımlayan ilk eser oldu ve yine kareköküne kadar olan bölenleri kullanmayı önerdi.^[17]

1640 senesinde, Pierre de Fermat tarafından ispatı yapılmamış olmasına rağmen ortaya atılan Fermat'nın küçük teoremi, sonradan Leibniz ve Euler tarafından ispatlanmıştır.^[19] Fermat, ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ formülüyle ifade edilen Fermat sayılarının asallık özelliklerini araştırmış,^[20] Marin Mersenne ise ${\displaystyle p}$'nin asal olduğu durumlarda ${\displaystyle 2^{p}-1}$ formunda tanımlanan Mersenne asallarını incelemiştir.^[21] Goldbach, Euler'e yazdığı 1742 tarihli mektupta, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öneren Goldbach hipotezini dile getirmiştir. Euler, tüm çift mükemmel sayıların Mersenne asalları kullanılarak oluşturulabileceğini gösteren Heysem varsayımını (günümüzde Öklid–Euler teoremi olarak adlandırılır) kanıtlamıştır.^[22] Euler ayrıca, asal sayıların sonsuz olduğunu ve asal sayıların terslerinin toplamının diverjansını, ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$, matematiksel analiz metodolojilerini bu alana taşıyarak kanıtlamıştır.^[23] 19. yüzyılın başlarında, Legendre ve Gauss, ${\displaystyle x}$ sonsuza yaklaştıkça, ${\displaystyle x}$'e kadar olan asal sayıların sayısının, ${\displaystyle x/\log x}$ ile asimptotik olduğunu tahmin etmişlerdir, burada ${\displaystyle \log x}$, ${\displaystyle x}$'in doğal logaritmasıdır. Asal sayıların bu yüksek yoğunluğunun bir zayıf sonucu Bertrand'ın postülatı idir; bu postülat her ${\displaystyle n>1}$ için, ${\displaystyle n}$ ile ${\displaystyle 2n}$ arasında bir asal sayı olduğunu öne sürer ve 1852'de Pafnuty Chebyshev tarafından kanıtlanmıştır.^[24] Bernhard Riemann'ın 1859 tarihli zeta-fonksiyonu üzerine yazdığı makalesindeki fikirleri, Legendre ve Gauss'un tahminini kanıtlamak için bir çerçeve çizdi. Yakından ilgili olan Riemann hipotezi hala kanıtlanmamış olmasına rağmen, Riemann'ın çizdiği çerçeve 1896'da Hadamard ve de la Vallée Poussin tarafından tamamlandı ve sonuç şimdi asal sayılar teoremi olarak bilinmektedir.^[25] 19. yüzyılın başka bir önemli sonucu Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi idi, belirli aritmetik dizilerin sonsuz çoklukta asal sayı içerdiğini belirtir.^[26]

Deneme bölmesinin pratikte uygulanabilir olduğu sayılardan daha büyük sayılar için birçok matematikçi asallık testi üzerinde çalışmıştır. Belirli sayı formlarına sınırlı yöntemler arasında Fermat sayıları için Pépin testi (1877),^[27] Proth teoremi (yaklaşık 1878),^[28] Lucas–Lehmer asallık testi (1856'da ortaya çıktı) ve genelleştirilmiş Lucas asallık testi bulunmaktadır.^[17]

1951 yılından itibaren, en büyük bilinen asal sayıların tümü, bilgisayarlarda gerçekleştirilen bu testlerle keşfedilmiştir.^[a] Büyük asal sayıları arama çabası, Great Internet Mersenne Prime Search ve benzeri dağıtık hesaplama projeleri vasıtasıyla matematiksel olmayan topluluklarda da büyük bir ilgi uyandırmıştır.^[9][30] Asal sayıların soyut matematik^[b] dışında önemli uygulamalara sahip olmadığına dair görüş, 1970'lerde, asal sayıları temel alan açık anahtarlı kriptografi ve RSA kriptosisteminin geliştirilmesi ile çürütülmüştür.^[33]

Bilgisayarla yapılan asallık testlerinin ve çarpanlara ayırma işleminin artan pratik önemi, kısıtlama olmaksızın büyük sayılarla başa çıkabilen gelişmiş yöntemlerin geliştirilmesine yol açtı.^[16][34][35] Asal sayılar teorisinin matematiksel gelişimi, asal sayıların keyfi olarak uzun aritmetik dizilerinin olduğunu belirten Green–Tao teoremi (2004) ve Yitang Zhang'ın 2013'te sınırlı büyüklükte sonsuz çoklukta asal boşluklarının olduğunun kanıtı ile de ileriye taşındı.^[36]

1 sayısının asallığı

Antik Yunanların çoğu, başlangıçta 1'i bir sayı olarak bile kabul etmemiştir,^[37][38] dolayısıyla asallığını tartışmaları mümkün değildi. Nicomachus, Iamblichus, Boethius ve Cassiodorus gibi birkaç Yunan ve sonraki Roma geleneği alimi, asal sayıları tek sayıların bir alt bölümü olarak kabul ettiği için, 2'yi de asal olarak kabul etmemişlerdir. Ancak, Öklid ve diğer birçok Yunan matematikçisi 2'yi asal olarak kabul etmiştir. Orta Çağ İslam matematikçileri genellikle Yunanların görüşlerini takip ederek 1'i bir sayı olarak görmemişlerdir.^[37] Orta Çağ ve Rönesans boyunca matematikçiler 1'i bir sayı olarak kabul etmeye başlamış ve bazıları onu ilk asal sayı olarak dahil etmiştir.^[39] 18. yüzyılın ortalarında Christian Goldbach, Leonhard Euler ile olan yazışmalarında 1'i asal olarak listelemiştir; ancak, Euler kendisi 1'i asal olarak kabul etmemiştir.^[40] 19. yüzyılda birçok matematikçi hala 1'i asal olarak kabul etmiş,^[41] ve 1'i içeren asal sayı listeleri en son 1956 yılında yayımlanmıştır.^[42][43]

1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır.^[44] Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.^[45][46][47]

Resimdeki örnek 11'in asal olup 12'nin asal olmadığını gösteriyor.

Bir sayının asal olarak tanımlanması değiştirilip 1 asal olarak kabul edilseydi, asal sayılarla ilgili birçok ifade daha zor bir şekilde yeniden formüle edilmek zorunda kalırdı. Örneğin, aritmetiğin temel teoremi, her sayının 1'in istenilen sayıda kopyasıyla çeşitli faktörizasyonları olacağı için, 1'den büyük asallara göre faktörizasyonlar açısından yeniden ifade edilmek zorunda kalırdı.^[41] Benzer şekilde, Eratosthenes kalburu 1'i bir asal olarak ele alırsa doğru çalışmazdı çünkü 1'in tüm katlarını (yani, tüm diğer sayıları) elemek ve sadece 1 sayısını çıkarmak zorunda kalırdı.^[43] Asal sayıların bazı diğer daha teknik özellikleri de 1 numarası için geçerli değildir: örneğin, Euler'in totient fonksiyonu veya bölenler toplamı fonksiyonu için formüller asal sayılar için 1 ile farklıdır.^[48] 20. yüzyılın başlarında, matematikçiler 1'in asal olarak listelenmemesi, ancak daha çok "birim" olarak kendi özel kategorisinde yer alması gerektiği konusunda anlaşmaya başladılar.^[41]

Temel özellikler

42'nin Çarpan Ağacı yöntemi ile asal çarpanlarına ayırma.

Çarpanlama

Ana madde: Aritmetiğin temel teoremi

Bir sayının asal sayıların çarpımı olarak yazılması, o sayının asal çarpanlara ayrılması olarak adlandırılır. Örneğin:

${\displaystyle {\begin{aligned}34866&=2\times 3\times 3\times 13\times 149\\&=2\times 3^{2}\times 13\times 149.\end{aligned}}}$

Bu çarpımdaki terimlere asal çarpanlar denir. Aynı asal çarpan birden fazla bulunabilir; bu örnekte asal çarpan ${\displaystyle 3}$ iki defa görülmektedir. Bir asal sayı birden fazla kez bulunduğunda, üssel sayılar kullanılarak aynı asal sayı gruplandırılabilir: örneğin, yukarıdaki sonucun ikinci yazım şeklinde, ${\displaystyle 3^{2}}$, ${\displaystyle 3}$ sayısının karesini veya ikinci kuvvetini gösterir.

Asal sayıların sayılar teorisi ve genel olarak matematiğe merkezi önemi, aritmetiğin temel teoreminden kaynaklanmaktadır.^[49] Bu teorem, 1'den büyük her tam sayının bir veya daha fazla asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini belirtir. Daha da önemlisi, bu çarpım özeldir; yani, aynı sayının her iki asal çarpanlarının çarpımı, çarpanların sıralaması farklı olsa bile, aynı asal sayıların aynı sayıda kopyasını içerecektir.^[50] Dolayısıyla, bir asal çarpanlarına ayırma algoritması kullanılarak çarpanlara ayırma işlemi yapmanın birçok farklı yolu olmasına rağmen, hepsi aynı sonucu üretmek zorundadır. Bu nedenle, asal sayılar doğal sayıların "temel yapı taşları" olarak kabul edilebilir.^[51]

Asal çarpanlara ayrılmanın benzersizliğinin kanıtlarından bazıları, Öklid'in lemmasına dayanır: Eğer ${\displaystyle p}$ bir asal sayıysa ve ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b,}$ tam sayılarının çarpımı olan ${\displaystyle ab}$'yi bölerse, o zaman ${\displaystyle p}$, ya ${\displaystyle a}$'yı ya da ${\displaystyle b}$'yi (veya her ikisini de) böler.^[52] Aksine, bir sayı ${\displaystyle p}$, bir çarpımı böldüğünde daima çarpımın en az bir faktörünü bölerse, o zaman ${\displaystyle p}$ asal olmalıdır.^[53]

Sonsuzluk

Ana madde: Öklid teoremi

Asal sayıların sayısı sonsuzdur. Diğer bir deyişle, asal sayı dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

asla son bulmaz. Bu tez, antik Yunan matematikçisi Öklid onuruna, "Öklid Teoremi" olarak isimlendirilmiştir çünkü bu tezin bilinen ilk ispatı onun adıyla ilişkilendirilir. Asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlayan birçok metod mevcuttur; bunlar arasında, Euler tarafından gerçekleştirilen analitik ispat, Goldbach'ın Fermat sayıları üzerine kurulu ispatı,^[54] Furstenberg'in genel topoloji kullanarak sunduğu kanıtı,^[55] ve Kummer'in ispatı sayılabilir.^[56]

Öklid'in ispatı,^[57] herhangi bir sonlu asal sayı listesinin eksik olduğunu gösterir. Ana fikir, verilen listedeki asal sayıların hepsini çarparak ${\displaystyle 1}$ eklemektir. Eğer liste ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},}$ asal sayılarından oluşuyorsa, bu

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}$ sayısını verir.

Temel teorem gereğince, ${\displaystyle N}$ sayısı,

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

şeklinde bir veya daha fazla asal çarpan içeren bir asal çarpanlara ayırımına sahiptir. ${\displaystyle N}$ sayısı, bu çarpanlarca tam bölünebilirken, verilen asal sayı listesindeki herhangi bir sayı ile bölündüğünde 1 kalanını verir; bu durum, ${\displaystyle N}$ sayısının asal çarpanlarının verilen liste içinde yer alamayacağını gösterir. Asal sayıların sonlu bir listesinin olmaması gerçeği, asal sayıların sonsuz olduğunu zorunlu kılar.

En küçük asal sayıların çarpımlarına bir eklenerek oluşturulan sayılara Öklid sayısı adı verilir.^[58] Bunlardan ilk beşi asal olmakla birlikte, altıncısı,

${\displaystyle 1+(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=30031=59\cdot 509,}$ şeklindedir.

Asal sayı denklemleri

Asal sayıları tespit etmek için bilinen etkin bir yöntem mevcut değildir. Öyle ki, yalnızca asal sayı değerleri üreten, sabit olmayan çok değişkenli bir polinom dahi bulunamamıştır.^[59] Bununla birlikte, yalnızca asal sayıları veya tüm asal sayıları temsil edebilen çeşitli ifadeler mevcuttur. Bu ifadelerden biri, Wilson teoremi'ne dayalı olup, 2 sayısının defalarca ve diğer tüm asal sayıların ise sadece bir kez elde edilmesini sağlayan bir formüldür.^[60] Dokuz değişken ve bir parametreye sahip Diyofantus denklemlerinden oluşan bir küme de mevcuttur; bu kümenin belirgin bir özelliği şöyledir: Eğer ve ancak eğer bu denklem sistemi doğal sayılar kümesi üzerinde bir çözüme sahipse, ilgili parametre bir asal sayıdır. Bu özellik, tüm pozitif değerleri asal sayı olan bir formülün elde edilmesi amacıyla kullanılabilir.^[59]

Mills teoremi ve Wright tarafından öne sürülen bir teoremle ilgili olarak, asal sayılar üreten diğer formüller de mevcuttur. Bu teoremler, ${\displaystyle A>1}$ ve ${\displaystyle \mu }$ şeklinde ifade edilen gerçek sabitlerin varlığını öne sürer.

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ ve }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

İlk formülde, herhangi bir doğal ${\displaystyle n}$ sayısı için belirtilen sayılar asal niteliktedir; ikinci formülde ise, üslerin herhangi bir sayıda oluşu durumunda da sayılar asal özellik gösterirler.^[61] Bu bağlamda, ${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$ sembolü, incelenen sayıya eşit veya bu sayıdan daha az olan en yüksek tam sayıyı ifade eden taban fonksiyonunu belirtmektedir. Fakat, ${\displaystyle A}$ veya ${\displaystyle \mu .}$ değerlerinin hesaplanabilmesi için asal sayıların ilk etapta elde edilmiş olması gerekliliği göz önünde bulundurulduğunda, bu formüllerin asal sayı üretimi açısından pratikte bir yararı bulunmamaktadır.^[59]

Çözüm bekleyen sorular

Matematik alanında, asal sayılarla ilgili bir dizi varsayım ileri sürülmüştür. Çoğunlukla temel bir ifade şekliyle ortaya konan bu varsayımlar, onlarca yıl süresince ispatlanamamıştır: 1912 yılında ortaya atılan Landau problemleri başlığı altındaki dört soru günümüze dek çözülememiştir.^[62] Bu varsayımlardan bir tanesi, 2'den büyük olan her çift tam sayı ${\displaystyle n}$'nin, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini öne süren Goldbach hipotezi ile ilişkilendirilmiştir.^[63] 2014 itibarıyla, söz konusu varsayım, ${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}}$ değerine ulaşan tüm sayılar için teyit edilmiştir.^[64] Bu iddiadan daha zayıf önermeler ispatlanmıştır; mesela, Vinogradov teoremi, yeterli büyüklükteki her tek tam sayının, üç asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini belirtmektedir.^[65] Chen teoremi, yeterli büyüklükteki herhangi bir çift sayının, bir asal sayı ile bir yarı asal (iki asal sayının çarpımı) toplamı şeklinde gösterilebileceğini öne sürmektedir.^[66] Bunun yanı sıra, 10 değerinden büyük olan her çift tam sayı, altı asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir.^[67] Bu tür soruların incelendiği sayı teorisi dalı, toplamsal sayı teorisi olarak adlandırılmaktadır.^[68]

Ardışık asal sayılar arasındaki farkları ifade eden asal boşlukları ile ilgili bir başka problem türü bulunmaktadır. Herhangi bir doğal ${\displaystyle n}$ sayısı için, ${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$ dizisinin ${\displaystyle n-1}$ adet bileşik sayı içerdiği göz önüne alındığında, istenilen büyüklükte asal boşlukların mevcudiyeti tespit edilebilir.^[69] Bununla birlikte, büyük asal aralıkların oluşumu, bu argümanın işaret ettiğinden çok daha önce gerçekleşmektedir.^[70] Mesela, 8 birimlik ilk asal sayı farkı, 89 ile 97 arasındaki asal sayılar arasında gözlemlenir,^[71] bu, ${\displaystyle 8!=40320}$ değerinden önemli ölçüde daha düşüktür. İki asal sayı arasındaki farkın 2 olması durumunda, ikiz asal çiftlerinin sonsuz sayıda var olduğu öne sürülmektedir; bu önerme, 'ikiz asal hipotezi' olarak bilinir. Polignac hipotezi ise daha geniş bir perspektiften, her pozitif ${\displaystyle k}$ tam sayı değeri için, ardışık asal sayı çiftlerinin ${\displaystyle 2k}$ farkla ayrıldığı durumların sonsuz sayıda olduğunu ifade etmektedir.^[72]

Andrica hipotezi,^[72] Brocard hipotezi,^[73] Legendre hipotezi^[74] ve Oppermann hipotezi,^[73] ${\displaystyle 1}$ ile ${\displaystyle n}$ arasındaki asal sayılar arasındaki maksimum boşlukların yaklaşık olarak en fazla ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ olması gerektiğini ileri sürmektedir; bu çıkarım, Riemann hipotezi çerçevesinde elde edilen bilinen bir sonuçtur. Ancak, daha iddialı olan Cramér hipotezi, en büyük boşluk boyutunu ${\displaystyle O((\log n)^{2})}$ olarak tahmin etmektedir. İki asal sayı arasındaki boşluklar, asal sayıların arasındaki farkların desenlerini ifade eden asal ${\displaystyle k}$-ikililer şeklinde genelleştirilebilir. Bu desenlerin sonsuz sayıda varlığı ve yoğunluğu, asal sayıların, asal sayı teoremi ile belirlenen yoğunluğa sahip rastgele bir sayı dizisi gibi davrandığını öneren sezgisel temellere dayanan ilk Hardy–Littlewood hipotezinin inceleme konusudur.^[75]

Analitik özellikler

Analitik sayı teorisi, sayı teorisini, sürekli fonksiyonlar, limitler, sonsuz seriler ve bunların yanı sıra sonsuzluk ve sonsuz küçük kavramlarıyla ilişkili matematiksel yapılar üzerinden detaylı bir şekilde araştırır.

Bu araştırma alanının kökenleri, Leonhard Euler'in Basel problemini çözümüyle ilişkilendirilen ilk önemli çalışmasına dayanır. İlgili sorun, ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$ şeklinde ifade edilen sonsuz serinin değerinin ne olduğunu sorgulamaktadır; bu değer günümüzde Riemann zeta fonksiyonu'nun ${\displaystyle \zeta (2)}$ değeri olarak kabul edilmektedir. Söz konusu fonksiyon, asal sayılarla ve matematiğin en önemli çözülememiş problemlerinden biri olan Riemann hipotezi ile sıkı bir şekilde ilişkilidir. Euler'in bu konudaki katkısı, ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ eşitliğini ispatlamasıyla öne çıkmaktadır.^[76] Bu sayının ters değeri olan ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$, geniş bir değer aralığından uniform dağılımla seçilen iki rastgele sayının birbirleriyle aralarında asal (yani ortak hiçbir çarpana sahip olmayan) olma ihtimalinin sınır değerini temsil etmektedir.^[77]

Büyük ölçekte asal sayıların dağılımı, örneğin belirli bir büyük eşik değerinden daha küçük olan asal sayıların sayısı gibi sorular, asal sayı teoremi tarafından açıklanmaktadır; fakat ${\displaystyle n}$-inci asal sayıyı belirleyen etkin bir formül mevcut değildir. Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoreminin temel versiyonu, aralarında asal olan ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ tam sayıları için

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

biçimindeki doğrusal polinomların sonsuz sayıda asal değere ulaştığını öne sürer. Teoremin ileri versiyonları, bu asal değerlerin terslerinin toplamının ıraksadığını ve aynı ${\displaystyle b}$ değerine sahip farklı doğrusal polinomların asal sayılar bakımından yaklaşık olarak aynı oranlara sahip olduğunu ifade eder. Daha yüksek dereceli polinomlarda asal sayı oranlarına ilişkin varsayımlar ortaya konmuş olmakla birlikte, bu varsayımlar henüz kanıtlanmamıştır ve tam sayı girdileri için sonsuz kez asal olan bir kuadratik polinomun varlığı bilinmemektedir.

Öklid teoreminin analitik ispatı

Euler'ın asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlama yöntemi, asal sayıların terslerinin toplamlarını incelemektedir,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}$

Euler, herhangi bir reel sayı ${\displaystyle x}$ için, bu toplamın ${\displaystyle x}$ değerinden daha büyük olacağı bir asal ${\displaystyle p}$ sayısının mevcut olduğunu kanıtlamıştır.^[78]

Bu durum, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunun bir göstergesidir; zira sonlu sayıda asal sayı var olsaydı, bu toplam, her bir ${\displaystyle x}$ değerini aşmak yerine, en büyük asal sayıda en yüksek değerine erişirdi. Bu serinin büyüme oranı, Mertens' ikinci teoremi ile daha detaylı bir biçimde tanımlanmıştır.^[79] Karşılaştırma amacıyla,

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

toplamı, ${\displaystyle n}$ sonsuza yaklaştıkça sonsuzluğa yönelmez (bkz. Basel problemi). Bu çerçevede, her iki küme de sonsuz sayıda olmasına rağmen, asal sayıların doğal sayı karelerine göre daha sıklıkla ortaya çıktığı görülmektedir.^[80]

Brun teoremi, ikiz asalların terslerinin toplamının,

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}$

sonlu bir değere sahip olduğunu ifade etmektedir. Brun teoremi nedeniyle, Euler metodunun, sonsuz sayıda ikiz asalın var olduğu iddiasını ele alan ikiz asal hipotezini çözümlemek amacıyla kullanılabilmesi mümkün değildir.^[80]

Belirli bir üst sınıra kadar olan asal sayıların miktarı

Göreceli hatanın ${\displaystyle {\tfrac {n}{\log n}}}$ ve logaritmik integral ${\displaystyle \operatorname {Li} (n)}$, asal sayıları sayma fonksiyonu ile olan yakınsaklığına dair incelemesi. ${\displaystyle n}$ değerinin artışı ile her iki göreceli hata oranı da azalarak sıfıra ulaşmaktadır; ancak, logaritmik integralin sıfıra yakınsama hızı, öteki yaklaşıma göre çok daha fazladır.

Asal sayıları sayma fonksiyonu olarak adlandırılan ${\displaystyle \pi (n)}$, ${\displaystyle n}$ değerine eşit veya ondan küçük olan asal sayıların toplam sayısını ifade etmek için kullanılan bir fonksiyondur.^[81] Örnek olarak, ${\displaystyle \pi (11)=5}$ olarak ifade edilir; zira 11 sayısına eşit veya bu sayıdan daha küçük olan beş adet asal sayı mevcuttur. Meissel–Lehmer algoritması gibi metodlar, ${\displaystyle n}$'ye kadar olan asal sayıların her birini tek tek sıralamaktan çok daha hızlı bir şekilde ${\displaystyle \pi (n)}$ değerinin doğru hesaplamasını gerçekleştirebilir.^[82]

Asal sayı teoremine göre, ${\displaystyle \pi (n)}$ değeri, ${\displaystyle n/\log n}$ ifadesine asimptotiktir, yani

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$ şeklinde gösterilir.

Bu durum, ${\displaystyle \pi (n)}$ ile sağ taraftaki ifadenin oranının, ${\displaystyle n}$ değeri sonsuzluğa ulaştıkça 1 değerine yakınsadığını ifade eder.^[83] Bu durum, ${\displaystyle n}$ değerinden daha küçük rastgele bir sayının asal sayı olma ihtimalinin, (yaklaşık olarak) ${\displaystyle n}$ sayısının basamak sayısına ters orantılı olduğunu göstermektedir.^[84]

Bu durum, aynı zamanda, ${\displaystyle n}$ sıradaki asal sayının büyüklüğünün ${\displaystyle n\log n}$ ile orantılı olduğunu^[85] ve bunun sonucu olarak, asal sayılar arasındaki ortalama boşluk büyüklüğünün ${\displaystyle \log n}$ ile orantılı olduğunu göstermektedir.^[70] ${\displaystyle \pi (n)}$ değerinin daha doğru bir tahmini, logaritmik integral kullanılarak sağlanmaktadır.^[83]

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Aritmetik diziler

Aritmetik dizi, dizide yer alan ardışık sayıların her biri arasında sabit bir fark bulunan, sonlu veya sonsuz bir sayılar dizisini ifade eder.^[86] Bu farka, dizinin modülü denir.^{[87] [88]} Örneğin,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

9 modül değerine sahip bir sonsuz aritmetik diziyi temsil eder. Aritmetik bir dizideki sayılar, modül değerine bölündüklerinde aynı kalanı alır; bu durumun bir örneği olarak, kalanın 3 olduğu görülür. Modülün 9 ve kalanın 3 olması, her iki değerin de 3'ün katları olması anlamına gelir, bu yüzden dizideki her bir eleman da 3'ün katıdır. Bu sebeple, bu dizi sadece bir tek asal sayı içermektedir ki o da 3'tür. Genel anlamda, sonsuz dizi

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

ancak kalan ${\displaystyle a}$ ve modül ${\displaystyle q}$ birbirine göre asal olduğunda birden fazla asal sayı içerebilir. Eğer bu iki değer birbirine göre asal ise, Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi, ilerlemenin sonsuz sayıda asal sayı içerdiğini öne sürer.

İncelemiş olduğumuz yatay şeridin her bir sırası, modül 9'a göre mümkün olan dokuz farklı dizi ilerlemesinden bir tanesini temsil etmekte olup, asal sayılar kırmızı renkle vurgulanmıştır. Mod 9 değerleri 0, 3 veya 6 olan sayı dizileri, en fazla bir adet asal sayıyı (bu sayı 3'tür) barındırabilirken; mod 9 değerleri 2, 4, 5, 7 ve 8 olan sayı dizileri, her bir dizi içinde benzer asal sayı miktarlarıyla birlikte, sonsuz sayıda asal sayı içermektedir.

Green–Tao teoremi, yalnızca asal sayılardan müteşekkil ve herhangi bir uzunlukta olabilen sonlu aritmetik dizilerin mevcudiyetini ispatlamaktadır.^[36][89]

Kuadratik polinomlar tarafından üretilen asal sayı değerleri

Ulam spirali. Asal sayılar (kırmızı olarak belirtilmiştir), belirli diyagonaller üzerinde yoğun bir dağılım gösterirken, bazı diyagonallerde bu yoğunluk gözlemlenmemektedir. ${\displaystyle 4n^{2}-2n+41}$ biçiminde ifade edilen kuadratik polinomdan elde edilen asal sayı değerleri mavi renkle işaretlenmiştir.

Euler, ${\displaystyle n^{2}-n+41}$ biçiminde ifade edilen fonksiyonun ${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$ aralığındaki n değerleri için asal sayı değerleri ürettiğine dikkat çekmiştir; bununla birlikte, bu fonksiyonun ileri değerleri arasında bileşik sayıların da yer aldığı gözlemlenmiştir.^[90][91] Bu fenomen için bir açıklama arayışı, Heegner sayıları ve sınıf sayısı problemi ile ilgili olarak, cebirsel sayı teorisinin derinliklerine dalmayı gerektirmiştir.^[92] Hardy–Littlewood F hipotezi, tam sayılı katsayılara sahip ikinci dereceden polinomların değerleri içerisindeki asal sayıların yoğunluğunun, logaritmik integral ve polinom katsayılarının fonksiyonu olarak öngörülmesine yöneliktir. Şu ana kadar, herhangi bir ikinci dereceden polinomun sonsuz sayıda asal sayı değeri ürettiği ispatlanamamıştır.^[93]

Ulam spirali, doğal sayıları, orijini çevreleyen konsantrik kareler halinde spiral bir düzende iki boyutlu bir ızgara üzerine yerleştirir ve asal sayıları belirginleştirir. Görsel bir inceleme sonucunda, asal sayıların belirli diyagonaller üzerinde, diğerlerine kıyasla daha yoğun bir şekilde gruplandığı görülmekte, bu durum bazı ikinci dereceden polinomların, diğerlerine nazaran daha sıklıkla asal değerler ürettiği yönünde bir izlenim uyandırmaktadır.^[93]

Zeta fonksiyonu ve Riemann hipotezi

Ana madde: Riemann hipotezi

Zeta fonksiyonunun mutlak değerlerine ilişkin çizim, fonksiyonun belirli özelliklerini sergilemektedir

1859 yılından itibaren matematik alanında aydınlatılamamış en meşhur meselelerden biri, aynı zamanda Milenyum Problemleri arasında yer alan Riemann hipotezi, Riemann zeta fonksiyonu ${\displaystyle \zeta (s)}$'nun sıfır noktalarının konumlarını sorgular. Bu fonksiyon, karmaşık sayılar üzerinde tanımlı bir analitik fonksiyon niteliğindedir. Reel kısmı bir değerinden büyük ${\displaystyle s}$ karmaşık sayıları için, fonksiyon hem tüm tam sayılar üzerinden hesaplanan bir sonsuz seri, hem de asal sayılar üzerinden tanımlanan bir sonsuz çarpım ile ifade edilir,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ asal}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

Euler tarafından ortaya konulan bu toplam ile çarpım arasındaki denklik, Euler çarpımı olarak isimlendirilmiştir.^[94] Euler çarpımı, aritmetiğin temel teoremi sayesinde elde edilmiş olup, zeta fonksiyonunun asal sayılarla derinlemesine ilişkisini açığa çıkarır.^[95] Sonsuz sayıda asal sayı bulunması gerektiğini kanıtlama yolunda bu durum, eğer sadece sınırlı sayıda asal sayı varsa, toplam-çarpım eşitliğinin ${\displaystyle s=1}$ noktasında da geçerli olması gerekirken, toplamın diverjans gösterdiği (harmonik seri ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$ gibi), çarpımın ise sonlu bir değer alması gerektiğiyle sonuçlanan bir çelişki ile karşı karşıya kalınır.^[96]

Riemann hipotezi, zeta fonksiyonunun sıfırlarının tamamının ya negatif çift sayılardan ya da reel kısımları 1/2'ye eşit olan karmaşık sayılardan oluştuğunu öne sürer.^[97] Asal sayı teoreminin ilk kanıtı, bu hipotezin bir versiyonuna, yani reel kısmı 1 olan sıfırların var olmadığı varsayımına dayanmaktaydı,^[98][99] fakat daha basit kanıtlar da ortaya konmuştur.^[100] Asal sayı sayım fonksiyonu, Riemann'ın açık formülü aracılığıyla, zeta fonksiyonunun sıfırlarının her birinden bir terimin katkısıyla oluşan bir toplam şeklinde ifade edilebilir; bu toplamın temel bileşeni logaritmik integral olup, geri kalan terimler ana terimin üzerinde ve altında dalgalanmalara yol açar.^[101] Bu bağlamda, sıfırların, asal sayıların dağılım düzenini belirlediği söylenebilir. Riemann hipotezi eğer doğruysa, bu dalgalanmalar minimale indirgenecek ve asal sayıların asimptotik dağılımı, asal sayı teoreminin öngördüğü gibi, ${\displaystyle x}$ sayısına yakın aralıklarda (yaklaşık olarak ${\displaystyle x}$ sayısının karekökü büyüklüğündeki aralıklar için) da geçerli olacaktır.

Soyut cebir

Modüler aritmetik ve sonlu alanlar

Ana madde: Modüler aritmetik

Modüler aritmetik, modül olarak isimlendirilen bir doğal sayı ${\displaystyle n}$ için, yalnızca ${\displaystyle {0,1,2,\dots ,n-1}}$ sayılarının kullanıldığı, geleneksel aritmetik işlemlerin modifiye edilmiş bir şeklidir. Diğer tüm doğal sayılar, ${\displaystyle n}$ ile bölme işlemi sonrasında elde edilen kalan değer ile bu sisteme dahil edilerek karşılıkları bulunur.^[102]

Modüler toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri, tam sayıların geleneksel toplama, çıkarma veya çarpma işlemlerinin sonucuna, bu sonucun modülünün alınarak yerine konulması yöntemiyle gerçekleştirilir.^[103]

Tam sayılar arasındaki eşitlik kavramı, modüler aritmetikte denklik olarak ifade edilir: ${\displaystyle x}$ ile ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle n}$ ile bölündüklerinde aynı kalan değerine sahip olduklarında denk olmaları durumu (${\displaystyle x\equiv y}$ mod ${\displaystyle n}$ şeklinde belirtilir).^[104]

Bu numaralandırma sisteminde, modül bir asal sayı olduğunda ve yalnızca o zaman, sıfır olmayan tüm sayılara bölme işlemi gerçekleştirilebilir. Mesela, modül olarak ${\displaystyle 7}$ asal sayısının seçilmesi durumunda, ${\displaystyle 3}$ sayısı ile bölme işlemi gerçekleştirilebilir: ${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$, zira her iki tarafın da ${\displaystyle 3}$ ile çarpılması, paydalardaki terimlerin sadeleştirilmesi sonucunda ${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$ geçerli denklemini ortaya çıkarır. Ancak, bileşik bir modül olan ${\displaystyle 6}$ için, ${\displaystyle 3}$ ile bölme işlemi gerçekleştirilemez. ${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$ denkleminin geçerli bir çözümü bulunmamaktadır: payda terimlerinin ${\displaystyle 3}$ ile çarpılması, denklemin sol tarafını ${\displaystyle 2}$ yaparken sağ tarafını ${\displaystyle 0}$ ya da ${\displaystyle 3}$ olarak değiştirir. Soyut cebir terminolojisinde, bölme işleminin yapılabilir olması, bir asal sayının modülü altında modüler aritmetiğin bir alan, daha özgül bir ifadeyle bir sonlu alan oluşturduğu; ancak diğer modüllerin yalnızca bir halka sağladığı, fakat bir alan oluşturmadığı anlamına gelir.^[105]

Asal sayılarla ilgili birçok teorem, modüler aritmetik kullanılarak ifade edilebilir. Mesela, Fermat'nın küçük teoremi, eğer bir ${\displaystyle a\not \equiv 0}$ (mod ${\displaystyle p}$) ise, o zaman ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$ (mod ${\displaystyle p}$) olacağını öne sürer.^[106]

Tüm ${\displaystyle a}$ değerleri için bu toplamın gerçekleştirilmesi, şu denklemi ortaya çıkarır:

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

bu denklem, ${\displaystyle p}$ asal sayı olduğu durumlarda geçerlidir. Giuga hipotezi, bu denklemin, ${\displaystyle p}$ sayısının asal olması için yeterli bir koşul olduğunu ileri sürer.^[107] Wilson teoremine göre, ${\displaystyle p>1}$ olan bir tam sayının asal olduğu; yalnız ve yalnız ${\displaystyle (p-1)!}$ faktöriyelinin, ${\displaystyle p}$ modunda ${\displaystyle -1}$ ile denk olması durumunda geçerlidir. Bileşik bir sayı ${\displaystyle ;n=r\cdot s;}$ için bu durum söz konusu olamaz, zira bu sayının çarpanlarından birisi, hem n hem de ${\displaystyle (n-1)!}$'i bölebilecek ve bu nedenle ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$ eşitliği mümkün olmayacaktır.^[108]

p-sel sayılar

Ana madde: p-sel sayılar

Bir tam sayının ${\displaystyle p}$-sel düzeni ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$, ${\displaystyle n}$ sayısının asal çarpan ayrıştırmasında ${\displaystyle p}$ asalının kaç defa yer aldığının göstergesidir. Bu kavram, tam sayılar için geçerli olduğu gibi, rasyonel sayılar için de, bir kesirin ${\displaystyle p}$-sel düzeninin ${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$ olarak tanımlanmasıyla genişletilebilir. Herhangi bir rasyonel sayı için ${\displaystyle p}$-sel mutlak değer ${\displaystyle |q|_{p}}$, ${\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$ şeklinde ifade edilir. Bir tam sayının ${\displaystyle p}$-sel mutlak değeri ile çarpılması, onun çarpan ayrıştırmasındaki ${\displaystyle p}$ asal çarpanlarını ortadan kaldırır, sadece diğer asal sayıları bırakır. Tıpkı iki gerçek sayı arasındaki uzaklığın, onların farklarının mutlak değeri ile ölçülebilmesi gibi, iki rasyonel sayı arasındaki uzaklık da onların ${\displaystyle p}$-sel uzaklığı, yani farklarının ${\displaystyle p}$-sel mutlak değeri ile ölçülebilir. Bu uzaklık tanımına göre, iki sayı birbirine yakın kabul edilir (küçük bir uzaklığa sahiptirler) eğer farkları ${\displaystyle p}$'nin yüksek bir derecesi ile bölünebiliyorsa. Rasyonel sayıların ve onların uzaklıklarının ek sınırlayıcı değerler eklenerek gerçek sayılar gibi bir tam alan oluşturulduğu şekilde, ${\displaystyle p}$-sel uzaklık ile rasyonel sayılar, farklı bir tam alan olan ${\displaystyle p}$-sel sayılar olarak genişletilebilir.^[109][110]

Bu düzen, mutlak değer ve bu kavramlardan türetilmiş tam alan kavramı, cebirsel sayı alanları ve bu alanların değerlendirmeleri (alanın çarpımsal grupundan tamamen sıralı bir toplamsal gruba, düzen olarak da adlandırılan, özel eşlemeler), mutlak değerler (alanı gerçek sayılara çarpan olarak eşleyen, norm olarak da bilinen, özel çarpan eşlemeler) ve yerler (verilen alanın yoğun bir küme olarak yer aldığı, tamamlamalar olarak adlandırılan, tam alanlara yapılan genişletmeler) kavramlarına genelleştirilebilir.^[111]

Örneğin, rasyonel sayılardan reel sayılara yapılan genişleme, sayılar arasındaki uzaklığın, onların farklarının alışılagelen mutlak değerine dayandığı bir yer olarak tanımlanabilir. Bu bağlamda, bir toplamsal gruba yapılan karşılık gelen eşleme, mutlak değerin logaritması olurdu, fakat bu, bir değerlendirme için gerekli olan tüm özellikleri sağlamaz. Ostrowski teoremine göre, doğal bir denklik anlayışına kadar, gerçek sayılar ve ${\displaystyle p}$-sel sayılar, onların düzen ve mutlak değerleri ile, rasyonel sayılar üzerinde tanımlanmış tek değerlendirmeler, mutlak değerler ve yerlerdir.^[109] Yerel-küresel prensip, rasyonel sayılar üzerindeki belirli sorunların, onların her bir yerinden elde edilen çözümlerin birleştirilmesi yoluyla çözülebilmesini sağlar, bu durum asal sayıların sayı teorisindeki kritik önemini bir kez daha altını çizer.^[112]

Halkalarda asal elemanlar

Norm değeri 500'ü aşmayan Gauss asalları, kompleks sayılar içerisinde, özellikle Gauss tam sayıları kapsamında, asallık özelliği taşıyan özel bir sayı alt kümesini ifade eder. (Bu bağlamda "norm", vektör uzayındaki sıfır vektörü hariç, her bir vektöre katı bir şekilde pozitif bir uzunluk veya boyut atayan matematiksel bir fonksiyonu belirtir.)

Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin belirlendiği bir cebirsel yapı olan değişmeli halka, matematiksel yapıların bir çeşididir. Tam sayılar, bu yapıların bir örneği olup, tam sayılar içerisinde yer alan asal sayılar, asal elemanlar ve indirgenemez elemanlar şeklinde iki farklı yöntemle genellenmiştir. ${\displaystyle R}$ halkasındaki sıfırdan farklı ${\displaystyle p}$ elemanı, çarpmaya göre tersi olmadığında (yani bir birim olmadığında) ve ${\displaystyle p}$ elemanı, ${\displaystyle R}$'nin iki elemanının çarpımı ${\displaystyle xy}$'i böldüğünde, ${\displaystyle x}$ veya ${\displaystyle y}$ elemanlarından en az birini bölebilme özelliğini gösterdiğinde asal olarak nitelendirilir. Bir elemanın ne bir birim ne de iki birim olmayan elemanların çarpımı olmaması durumunda ise indirgenemez olarak tanımlanır. Tam sayılar halkasında asal ve indirgenemez elemanlar aynı küme içinde bulunur,

${\displaystyle {\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots },.}$

Herhangi bir halkada, bütün asal elemanlar indirgenemez niteliktedir. Bu durumun tersi genellikle doğru olmamakla birlikte, benzersiz çarpanlara ayırma alanları için geçerlidir.^[113]

Aritmetiğin temel teoremi, tanımı gereği, benzersiz çarpanlara ayırma alanları çerçevesinde geçerliliğini korur. Bu tür alanların bir örneği olarak ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ üzerinden tanımlanan Gauss tam sayıları gösterilebilir. Bu alan, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ herhangi tam sayılar olmak üzere, ${\displaystyle a+bi}$ formundaki karmaşık sayılardan oluşan bir halkayı ifade eder ve bu bağlamda ${\displaystyle i}$, hayali birimi temsil eder. Bu yapıdaki asal elemanlara Gauss asal sayıları adı verilir. Tam sayılar arasında asal kabul edilen her sayının, Gauss tam sayıları içinde asal olarak kabul edilmemesi mümkündür; mesela, 2 sayısı, ${\displaystyle 1+i}$ ve ${\displaystyle 1-i}$ olmak üzere iki Gauss asalının çarpımı olarak ifade edilebilir. 3 mod 4 ile kongruent olan rasyonel asallar, Gauss tam sayılarında asal olarak kabul edilirken, 1 mod 4 ile kongruent olan rasyonel asallar asal olarak kabul edilmez.^[114] Bu durum, Fermat'nın iki kare toplamı üzerine teoreminden kaynaklanır; bu teorem, tek bir asal sayı ${\displaystyle p}$'nin, ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ formunda iki karenin toplamı olarak ifade edilebileceğini ve bu sayede ${\displaystyle p}$ 1 mod 4 iken ${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$ şeklinde çarpanlara ayrılabileceğini öngörür.^[115]

Asal idealler

Bütün halkaların benzersiz çarpanlara ayrılabilen bölgeler olduğu genellenemez. Örnek olarak, tam sayılar ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ için tanımlanan ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ sayılar halkasında, ${\displaystyle 21}$ sayısı ${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$ şeklinde iki farklı çarpanlara ayrılabilir, ancak bu çarpanların hiçbiri daha ileri indirgenebilir durumda değildir; bu da benzersiz çarpanlara ayrım özelliğinin bulunmadığını gösterir. Benzersiz çarpanlara ayrım özelliğinin geniş bir halkalar sınıfına uygulanabilmesi için, sayı kavramı, bir halkanın öğeleri alt kümesi olan ve bu öğelerin çiftlerinin tüm toplamları ile halka öğeleri ile olan tüm çarpımlarını barındıran bir ideal ile yer değiştirebilir. Asal idealler, bir asal öğenin ürettiği başlangıç idealinin bir asal ideal olması anlamında asal öğeleri genelleştiren ve değişmeli cebir, cebirsel sayılar teorisi ile cebirsel geometri alanlarında önemli bir araç ve araştırma nesnesidir. Tam sayılar halkasının asal idealleri ise (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... şeklinde sıralanabilir. Aritmetiğin temel teoremi, bir Noetherian değişmeli halka içerisindeki her idealin, birincil ideallerin bir kesişimi olarak tanımlanabileceğini belirten Lasker–Noether teoremi ile genelleştirilmiştir; bu ideal türleri, asal kuvvetlerin uygun bir şekilde genellenmiş halidir.^[116]

Bir halkanın spektrumu, söz konusu halkanın asal ideallerini içeren noktalarla tanımlanan bir geometrik alandır.^[117] Aritmetik geometri alanı, bu kavramdan önemli ölçüde yararlanmakta ve sayı teorisi ile geometri disiplinleri arasında çeşitli kavramsal paralellikler bulunmaktadır. Mesela, bir alana genişletme işlemi sonucu asal ideallerin faktörizasyonu veya dalgalanması gibi cebirsel sayı teorisinin temel problemleri, geometride dalgalanma fenomeni ile benzer özellikler gösterir. Tam sayılar üzerine kurulu sayı teorisi problemlerinin çözümünde bu kavramlar etkili olabilir. Kuadratik sayı alanlarının tam sayılar halkasındaki asal idealler, tam sayı asal sayıları üzerinde kare köklerin varlığını ifade eden kuadratik karşılıklılık teoreminin ispatlanmasında kullanılabilmektedir.^[118] Fermat'nın Son Teoremi'ni ispatlama çabalarının ilk aşamaları, siklotomik tam sayılarda benzersiz çarpanlara ayrılmanın başarısız olması ile ilişkilendirilen tam sayı asal sayıları olan düzenli asalların, Kummer tarafından literatüre kazandırılmasına yol açmıştır.^[119]

Cebirsel bir sayı alanında, kaç adet tam sayı asal sayısının, birden fazla asal idealin ürünü şeklinde faktörize olduğu meselesi, Çebotarev yoğunluk teoremi ile çalışılmıştır. Bu teorem, siklotomik tam sayılar bağlamında uygulandığında, aritmetik ilerlemelerde yer alan asal sayılar hakkındaki Dirichlet teoremini özel bir örnek olarak içermektedir.^[120]

Grup kuramı

Sonlu gruplar kuramında, Sylow teoremleri bir asal sayının ${\displaystyle p^{n}}$ kuvvetinin bir grubun mertebesine bölünebilmesi durumunda, ilgili grubun ${\displaystyle p^{n}}$ mertebesinde en az bir altgruba sahip olduğunu belirtir. Lagrange teoremi uyarınca, asal sayıda bir mertebe ile tanımlanan her grup bir döngüsel grup niteliğindedir ve Burnside teoremi tarafından, mertebesi yalnızca iki farklı asal sayı ile bölünebilen her grup, çözülebilir özellik gösterir.^[121]

Hesaplamalı yöntemler

Bu tarım aletinin içerisinde yer alan küçük dişli, 13 dişe sahiptir ki bu bir asal sayıdır, ortada yer alan dişli ise 21 dişe sahiptir ve bu, 13 ile göreceli olarak asaldır.

Genel anlamda sayı teorisi ve özellikle asal sayılar üzerine yapılan çalışmalar, uzun bir süre boyunca, saf matematiğin matematik dışında herhangi bir uygulaması olmayan kanonik bir örneği olarak kabul edilmiştir.^[b] Bunun istisnası, dişli çarkların aşınmasını eşit bir şekilde dağıtabilmek amacıyla dişli dişlerinin asal sayılarla belirlenmesi uygulamasıdır.^[122] Bu bağlamda, Britanya'dan matematikçi G. H. Hardy gibi sayı teorisyenleri, çalışmalarının açık bir şekilde herhangi bir askeri amaç taşımadığından dolayı övünç duymuştur.^[123]

1970'li yıllarda, asal sayıların açık anahtarlı şifreleme algoritmaları geliştirmek için bir temel olarak kullanılabileceğinin kamuoyuna duyurulmasıyla, sayı teorisinin saflık vizyonu ciddi bir şekilde sarsılmıştır.^[33] Bu uygulamalar, asal sayılarla hesaplama yapabilen algoritmaların ve özellikle de bir sayının asal olup olmadığını belirlemeye yönelik yöntemlerin, yani asallık testlerinin, kapsamlı bir şekilde incelenmesini teşvik etmiştir. Büyük sayılar için kullanışlı olmaktan uzak, en temel asallık testi yöntemi olan deneme bölme yöntemi, yavaşlığı sebebiyle eleştirilmiştir. Modern asallık testlerinin bir kısmı herhangi bir sayıya uygulanabilirken, özel türdeki sayılar için daha verimli testler geliştirilmiştir. Çoğunlukla, asallık testleri sadece argümanın asal olup olmadığını belirlemekle sınırlıdır. Bileşik argümanların bir asal çarpanını (veya tüm asal çarpanlarını) belirleyebilen rutinler, çarpanlara ayırma algoritmaları olarak tanımlanır. Ayrıca, asal sayılar bilgisayar bilimlerinde denetim toplamlarında, anahtarlı tablolarda ve sanki rastgele sayı üreteçlerinde kullanım alanı bulmaktadır.

Deneme bölme yöntemi

Bir tam sayının asallık durumunun belirlenmesinde kullanılan en temel yöntem, deneme bölme olarak isimlendirilir. Bu metod, ilgili tam sayı ${\displaystyle n}$'i 2'den başlayarak ${\displaystyle n}$'in kareköküne kadar olan her tam sayıya bölme işlemi uygular. Bu sayılardan herhangi biri tarafından ${\displaystyle n}$ düzgün bir şekilde bölünebilirse, ${\displaystyle n}$ bileşik olarak tanımlanır; aksi halde asal olarak kabul edilir. ${\displaystyle n}$'in karekökünden büyük tam sayıların kontrol edilmesine gerek yoktur çünkü, ${\displaystyle n=a\cdot b}$ olduğu durumda, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ çarpanlarından biri her zaman ${\displaystyle n}$'in kareköküne eşit veya ondan küçüktür. Bu yöntemin bir diğer iyileştirmesi, bu aralıkta yalnızca asal sayıların çarpan olarak kontrol edilmesidir.^[124] Örnek olarak, 37 sayısının asal olup olmadığının belirlenmesi sürecinde, bu metod 2'den ${\displaystyle {\sqrt {37}}}$ değerine kadar olan asal sayılar, yani 2, 3 ve 5 sayıları ile bölme işlemi gerçekleştirir. Yapılan her bölme işlemi sıfırdan farklı bir kalan ile sonuçlandığı için, 37 sayısı asal olarak tanımlanır.

Bu metodun tanımı basit olmakla birlikte, büyük tam sayıların asallık testi için uygulanabilirliği sınırlıdır; zira, bu tam sayıların basamak sayısına bağlı olarak yürütülen testlerin sayısı, üstel bir artış göstermektedir.^[125] Bununla birlikte, bölücü büyüklüğü üzerinde karekökten daha az bir sınır belirlenerek kullanılan deneme bölme yöntemi, daha karmaşık yöntemlere başvurulmadan önce, küçük çarpanlara sahip bileşik sayıları hızla belirlemek amacıyla bu süzgeçten geçen sayılar üzerinde hâlâ tercih edilmektedir.^[126]

Kalbur yöntemleri

Eratosten kalburu, başlangıçta tüm sayıların işaretsiz (gri) olduğu bir durumla işe koyulur. Ardından, tekrarlanan işlemlerle ilk işaretsiz sayıyı tespit eder, bu sayıyı asal olarak işaretler (koyu renkler) ve bu sayının karesi ile bu sayıdan sonra gelen tüm katlarını bileşik olarak işaretler (daha soluk renkler). 2 (kırmızı), 3 (yeşil), 5 (mavi) ve 7 (sarı) sayılarının katlarının işaretlenmesinin ardından, tablonun kareköküne kadar olan tüm asallar ele alınmış ve işaretlenmemiş kalan sayılar (11, 13 vb.) asal olarak nitelendirilir (magenta).

Ana madde: Eratosten kalburu

Bilgisayarların var olmadığı dönemlerde, verilen bir sınır değere kadar tüm asalların ya da asal çarpanlaştırmaların listelendiği matematiksel tablolar yaygın biçimde basılmaktaydı.^[127] Asal sayıların listesinin elde edilmesinde kullanılan en kadim yöntem, Eratosten kalburu olarak isimlendirilir.^[128] Bu yöntemin optimize edilmiş bir çeşidini gösteren animasyon, metodun uygulanışını görselleştirir.^[129]

Aynı problem için daha asimptotik açıdan daha verimli bir başka kalbur yöntemi Atkin kalburu olarak belirlenmiştir.^[130] İleri düzey matematikte, elek teorisi benzeri metodlar diğer problemlerin çözümünde de kullanılmaktadır.^[131]

Asallık testi ile asallığın kanıtlanması

Bir ${\displaystyle n}$ sayısının asal olup olmadığını belirlemek amacıyla kullanılan en gelişmiş modern testlerden bazıları, yanlış bir sonuç üretme ihtimali olan olasılıksal (veya Monte Carlo) algoritmalarıdır.^[132] Örneğin, bir ${\displaystyle p}$ sayısı için Solovay–Strassen asallık testi uygulamasında, ${\displaystyle 2}$ ile ${\displaystyle p-2}$ arasından rastgele seçilen bir ${\displaystyle a}$ sayısı üzerinden, ${\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}$ ifadesinin ${\displaystyle p}$ tarafından bölünebilirliği modüler üs alma aracılığıyla denetlenir.^[c] Bu durumda, algoritma pozitif yanıt verir; aksi takdirde, negatif yanıt verir. ${\displaystyle p}$ sayısı gerçekten asal ise, algoritma her zaman pozitif yanıt verir; fakat ${\displaystyle p}$ bileşik bir sayı ise, pozitif yanıt verme olasılığı en fazla 1/2, negatif yanıt verme olasılığı ise en az 1/2'dir.^[133]

Bu deneyin aynı sayı üzerinde ${\displaystyle n}$ defa yinelenmesi halinde, bir bileşik sayının her seferinde bu deneyden başarıyla geçme ihtimali en çok ${\displaystyle 1/2^{n}}$ olarak belirlenir. Deneylerin sayısı arttıkça, bu ihtimal üssel olarak azaldığından, yinelenen deneyi geçen bir sayının asal olduğuna ilişkin yüksek bir güven seviyesi (fakat kesin bir kanıt değil) elde edilir. Diğer taraftan, eğer deney en az bir kere dahi başarısızlıkla sonuçlanırsa, bu durumda söz konusu sayının mutlaka bileşik olduğu kesinleşir.^[134] Bu şekilde bir testi geçmeyi başaran bileşik sayılara sanki asal (İng. pseudoprime) adı verilir.^[133]

Diğer taraftan, bazı algoritmaların sonuçlarının daima doğru olacağına dair bir garanti bulunmaktadır. Bu durumun bir örneği deneme bölme yöntemidir. Kesin doğru çıktı sağlayan algoritmalar, AKS asallık testi gibi deterministik (rasgele olmayan) algoritmaları,^[135] ve algoritmanın nihai yanıtını etkilemeyen rastgele seçimler yapan, örneğin bazı elips eğri asallık kanıtlama çeşitlerindeki gibi Las Vegas algoritmasını kapsar.^[132]

Elips eğri metodu, bir sayının asallığı konusunda bir karara vardığında, kolaylıkla doğrulanabilir bir asallık sertifikası temin eder.^[136] Pratik uygulamalarda, garantili doğruluk sağlayan asallık testleri içinde, elips eğri asallık testi en hızlı olanıdır; ancak, bu testin çalışma zamanı analizi, katı ispatlara değil, sezgisel argümanlara dayanır. Matematiksel olarak zaman karmaşıklığı ispatlanmış AKS asallık testi mevcut olmakla birlikte, uygulamada elips eğri asallığını kanıtlamadan daha yavaş işler.^[137] Bu metodlar, rastgele sayılar üretilip test edilerek ve asal olan bir sayı bulunana dek büyük rastgele asal sayılar üretmek için kullanılabilir; bu süreçte, bir hızlı olasılıksal test, garantili doğruluk sağlayan bir algoritma ile kalan sayıların asallığının doğrulanmasından önce, çoğu bileşik sayıyı çabucak elemine etme işlevi görür.^[d]

Aşağıda sunulan tablo, mevcut testlerden seçilmiş olanları sıralamaktadır. Bu testlerin çalışma zamanları, incelenmek üzere olan sayıyı temsil eden ${\displaystyle n}$ ve olasılıksal algoritmalar için gerçekleştirilen testlerin sayısını ifade eden ${\displaystyle k}$ ile ilişkilendirilmiştir. Ek olarak, ${\displaystyle \varepsilon }$, keyfi olarak belirlenebilen küçük bir pozitif değeri simgeler ve log, belirli bir tabana atıfta bulunmaksızın logaritmayı işaret eder. Büyük O gösterimi, her bir zaman kısıtının, boyutsuz birimlerden zaman birimlerine çevrilebilmesi için bir sabit faktör ile çarpılması gerektiğini belirtir; bu faktör, algoritmanın uygulandığı bilgisayarın türü gibi uygulama ayrıntılarına bağlıdır, fakat ${\displaystyle n}$ ve ${\displaystyle k}$ girdi parametrelerine bağlı olmaz.

Test	Geliştirildiği yıl	Tip	Çalışma süresi	Notlar	Kaynaklar
AKS asallık testi	2002	deterministik	${\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon })}$		[135][138]
Elips eğrisi asallık kanıtlama	1986	Las Vegas	${\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon })}$ sezgisel olarak		[137]
Baillie–PSW asallık testi	1980	Monte Carlo	${\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon })}$		[139][140]
Miller–Rabin asallık testi	1980	Monte Carlo	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	hata olasılığı ${\displaystyle 4^{-k}}$	[141]
Solovay–Strassen asallık testi	1977	Monte Carlo	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	hata olasılığı ${\displaystyle 2^{-k}}$	[141]

Özel amaçlı algoritmalar ve en büyük bilinen asal sayı

Ana madde: Asal sayıların listesi

Bahse konu testlerin yanı sıra, özgün biçimdeki bazı sayıların asallık durumu, daha hızlı bir metodoloji kullanılarak test edilebilir. Örnek olarak, Lucas–Lehmer asallık testi, bir Mersenne sayısının (iki'nin bir kuvvetinden bir az olan) asal olup olmadığını, deterministik bir yaklaşımla, Miller–Rabin testinin tek bir yinelemesi kadar sürede tespit edebilmektedir.^[142] Bu sebepten ötürü, 1992 yılından itibaren ((21 Ekim 2024 (2024-10-21) itibarıyla)) en büyük bilinen asal sayı, sürekli olarak bir Mersenne asalı olagelmiştir.^[143] Mersenne asallarının sonsuz olduğu varsayılmaktadır.^[144]

Aşağıdaki tablo, çeşitli kategorilerde tespit edilmiş en büyük asal sayıları içermektedir. Bu asal sayıların bir kısmı, dağıtık hesaplama yöntemiyle keşfedilmiştir. 2009 senesinde, en az on milyon rakam içeren bir asal sayıyı ilk defa bulma başarısı gösteren Great Internet Mersenne Prime Search projesi, yüz bin Amerikan doları mükafatına layık görülmüştür.^[145] Electronic Frontier Foundation, yüz milyon ve bir milyar rakam barındıran asal sayılar için sırasıyla yüz elli bin ve iki yüz elli bin dolar ödül sunmaktadır.^[146]

Tip	Asal sayı	Basamak sayısı	Tarih	Kaşif
Mersenne asal sayısı	2136,279,841 − 1	41,024,320	12 Ekim 2024[1]	Luke Durant, Great Internet Mersenne Prime Search
Proth asal sayısı	10,223 × 231,172,165 + 1	9,383,761	Ekim 31, 2016[147]	Péter Szabolcs, PrimeGrid[148]
Faktöriyel asal sayı	208,003! − 1	1,015,843	Temmuz 2016	Sou Fukui[149]
Primorial asal sayı[e]	1,098,133# − 1	476,311	Mart 2012	James P. Burt, PrimeGrid[151]
İkiz asallar	2,996,863,034,895 × 21,290,000 ± 1	388,342	Eylül 2016	Tom Greer, PrimeGrid[152]

Asal çarpanlara ayırma

Ana madde: Asal çarpanlara ayırma

Bir bileşik tam sayı olan ${\displaystyle n}$ için, onun bir veya tüm asal çarpanlarını tespit etme işlemi, ${\displaystyle n}$ sayısının çarpanlara ayrılması olarak isimlendirilir. Bu süreç, asallığın sınanmasından bariz bir şekilde daha zor bir hal almaktadır,^[153] ve birçok çarpanlara ayrılma algoritması tanımlanmış olmasına rağmen, bunlar en hızlı asallık testi metodlarına kıyasla daha yavaş çalışmaktadırlar. Deneme bölünmesi ve Pollard'ın rho algoritması gibi yöntemler, ${\displaystyle n}$ sayısının oldukça küçük çarpanlarını keşfetmek amacıyla kullanılabilir,^[126] ve ${\displaystyle n}$ sayısının az büyüklükte çarpanları varsa, elips eğri çarpanlarına ayırma yöntemi etkili olabilmektedir.^[154] Çarpanlarının büyüklüğünden bağımsız olarak, herhangi bir büyüklükteki sayılar için uygulanabilir yöntemler arasında kuadratik kalbur ve genel sayı alanı kalburu metodları yer almaktadır. Asallık testlerinde olduğu gibi, girdinin özgül bir yapıda olmasını zorunlu kılan çarpanlara ayrılma algoritmaları da mevcuttur; bunlar arasında özel sayı alanı kalburu bulunmaktadır.^[155] Aralık 2019 itibarıyla, genel amaçlı bir algoritmayla çarpanlarına ayrılmış en büyük sayı, 240 ondalık basamağa (795 bit) sahip RSA-240'dır ve bu, iki büyük asal sayının çarpımından meydana gelmektedir.^[156]

Shor algoritması, herhangi bir tam sayının çarpanlarına ayrıştırılmasını bir kuantum bilgisayar üzerinde polinomik sayıda işlem adımı ile gerçekleştirebilir.^[157] Bununla birlikte, günümüz teknolojisi, söz konusu algoritmayı sadece minimal büyüklükteki sayılar üzerinde uygulayabilmektedir. (Ekim 2012 (2012-10) itibarıyla), bir kuantum bilgisayarında Shor algoritmasını kullanarak çarpanlarına ayrılan en büyük sayı 21 olarak kaydedilmiştir.^[158]

Diğer bilgisayımsal uygulamalar

Çok sayıda açık anahtarlı şifreleme algoritması, örneğin RSA ve Diffie-Hellman anahtar değişimi gibi, büyük asal sayılar üzerine kuruludur (2048-bit asal sayılar yaygın kullanımdadır).^[159] RSA algoritması, iki (büyük) sayının çarpımı olan ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ sayılarının çarpımını yapmanın, bu çarpım ${\displaystyle xy}$ sonucu bilindiğinde ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ (aralarında aralarında asal kabul edilen) sayılarını bulmaktan çok daha kolay (yani daha etkili) olduğu önermesine dayalıdır.^[33] Diffie–Hellman anahtar değişim mekanizması, ${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$ şeklinde ifade edilen modüler üs alma işleminin etkili algoritmalarla gerçekleştirilebilmesi gerçeğine bağlıyken, bu işlemin tersi olan ayrık logaritma probleminin zor olduğu kabul edilmektedir.^[160]

Asal sayılar, hash tablolarında yaygın olarak tercih edilmektedir. Carter ve Wegman tarafından geliştirilen orijinal evrensel hashing metodolojisi, büyük asal sayılar cinsinden mod alınarak seçilen rastgele doğrusal fonksiyonlar aracılığıyla hash fonksiyonuların hesaplanmasına dayanır. Carter ve Wegman, bu metodu, yine büyük asal sayılar cinsinden mod alınarak daha yüksek dereceden polinomlar kullanılarak ${\displaystyle k}$-bağımsız hashingi genelleştirerek iyileştirmiştir.^[161] Asal sayılar, hash fonksiyonlarının yanı sıra, kuadratik sondalama yöntemine dayalı hash tablolarında, sorgulama dizilerinin tablonun tamamını kapsayacak şekilde tasarlanmasını sağlamak amacıyla hash tablo boyutlarının belirlenmesinde de kullanılmaktadır.^[162]

Çeşitli sağlama toplamı yöntemleri, asal sayıların matematiğine dayalıdır. Mesela, Uluslararası Standart Kitap Numarası için kullanılan sağlama toplamları, asal bir sayı olan 11'e göre sayının mod alınarak hesaplanması yoluyla tanımlanmaktadır. 11 sayısının asal bir değere sahip olması, bu metodun hem tek basamaklı hataları hem de yan yana bulunan rakamların yer değiştirme hatalarını tespit edebilmesine olanak tanır.^[163] Adler-32 gibi başka bir kontrol toplamı yöntemi, ${\displaystyle 2^{16}}$ değerinden küçük olan en büyük asal sayı 65521'e göre modüler aritmetik kullanmaktadır.^[164] Asal sayılar ayrıca, lineer eşleşik üreteciler ve Mersenne Twister^[165] gibi çeşitli rastgele sayı üreteci modellerinde temel birer bileşen olarak kullanılmaktadır.^[166]

Diğer uygulamalar

Asal sayılar, sayılar teorisinin yanı sıra, soyut cebir ve temel geometri gibi matematiğin diğer disiplinlerinde de geniş uygulama alanlarına sahiptir. Mesela, asal sayılar kadar noktanın iki boyutlu bir düzlem üzerine öyle bir yerleştirilmesi mümkündür ki, bu noktalardan herhangi üçü düz bir çizgi üzerinde konumlanmaz, üç-doğru-üzerinde-sorunu (İng. No-three-in-line problem) ya da bu noktalar arasından seçilen her üçlü tarafından oluşturulan üçgenlerin geniş alanlara sahip olması sağlanabilir.^[167] Ayrıca, bir polinomun indirgenemezliğinin, polinomun katsayılarının bir asal sayı ve bu asal sayının karesi ile bölünebilirliğine dayanarak tespit edilmesini sağlayan Eisenstein kriteri, indirgenemez polinomlar üzerine bir test olarak öne çıkmaktadır.^[168]

Bağlanmış iki asal düğümün toplamı

Asal sayı kavramı, matematiğin çeşitli dallarında farklı şekillerde genelleştirilmiş kadar önemlidir. Genellikle, "asal" kelimesi, uygun bir anlamda, minimaliteyi veya ayrıştırılamazlığı belirtir. Örneğin, verilen bir alanın asal alanı, hem 0 hem de 1'i içeren en küçük alt alandır. Bu, rasyonel sayılar alanı veya asal sayıda elemana sahip bir sonlu alandır, isminin kaynağı budur.^[169] Sıklıkla, "asal" kelimesi kullanılarak bir nesnenin, esasen benzersiz bir şekilde, asal bileşenlerine ayrıştırılabileceği anlamı da amaçlanır. Örneğin, düğüm teorisinde, bir asal düğüm iki önemsiz düğümün bağlı toplamı olarak yazılamayacak şekilde ayrıştırılamaz bir düğümdür. Herhangi bir düğüm, asal düğümlerin bağlı toplamı olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir.^[170] 3-boyutlu manifoldların asal ayrışımı bu türe başka bir örnektir.^[171]

Matematik ve bilgisayar bilimlerinin ötesinde, asal sayıların kuantum mekaniğine potansiyel ilişkileri mevcut olup, kültür ve edebiyat alanlarında metaforik öğeler olarak değerlendirilmişlerdir. Bunun yanı sıra, evrimsel biyoloji alanında, ağustos böceğilerinin yaşam evrelerinin izah edilmesinde asal sayılar başvurulan bir araç olmuştur.

Yapılandırılabilir çokgenler ve çokgen bölümlendirmeleri

Cetvel ve pergel yardımıyla düzenli bir beşgenin oluşturulması. Bu işlem, yalnızca 5 sayısının bir Fermat asalı olması sayesinde gerçekleştirilebilmektedir.

Fermat asalıları,

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

şeklinde tanımlanan ve ${\displaystyle k}$ negatif olmayan bir tam sayı olduğunda geçerli olan asal sayılar olarak bilinir.^[172] Bu terim, her biri bu formdaki sayıların asal olduğunu varsayan Pierre de Fermat'ya atfen kullanılır. İlk beş Fermat sayısı – 3, 5, 17, 257 ve 65,537 – asal niteliktedir,^[173], fakat ${\displaystyle F_{5}}$ ve 2017 yılı itibarıyla incelenmiş diğer tüm Fermat sayıları bileşik olarak sınıflandırılmıştır.^[174] Bir düzenli ${\displaystyle n}$-genin cetvel ve pergel kullanılarak çizilebilir olması, ancak ve ancak ${\displaystyle n}$'in tek asal faktörleri (var ise) birbirinden farklı Fermat asalları olduğunda mümkündür.^[173] Benzer şekilde, bir düzenli ${\displaystyle n}$-genin çizimi, ${\displaystyle n}$ sayısının asal çarpanlarının 2 veya 3'ün herhangi bir sayıda tekrarı ile birlikte, farklı Pierpont asalıları içeren (potansiyel olarak boş) bir küme olması durumunda, cetvel, pergel ve bir açı üçleyici kullanılarak gerçekleştirilebilir.^[175]

Herhangi bir dışbükey çokgenin, ${\displaystyle n}$ sayısı bir asal sayının kuvveti olduğunda, eşit alan ve eşit çevreye sahip ${\displaystyle n}$ adet daha küçük dışbükey çokgenlere ayrılması mümkündür; fakat ${\displaystyle n}$ değerinin asal sayının kuvveti dışındaki diğer değerleri için bu durumun geçerli olup olmadığı bilinmemektedir.^[176]

Kuantum mekaniği

Hugh Montgomery ve Freeman Dyson'ın 1970'lerde gerçekleştirdikleri çalışmaların öncülüğünde, matematik ve fizik alanında uzmanlar, Riemann zeta fonksiyonunun kökleri ile kuantum sistemlerinin enerji düzeyleri arasında bir bağlantı olabileceğini öne sürmüşlerdir.^[177][178] Aynı zamanda, asal sayılar, karşılıklı olarak önyargısız tabanlar ve simetrik bilgi tamamlı pozitif-operatör-değerli ölçüm gibi matematiksel yapılar vasıtasıyla kuantum bilgi bilimi alanında da kritik bir öneme sahiptir.^[179][180]

Biyoloji

Magicicada cinsi ağustos böceğilerinin uyguladığı evrimsel strateji, asal sayılardan faydalanmaktadır.^[181] Bu böcek türleri, ömürlerinin büyük bir kısmını yer altında larva formunda geçirmekte, yalnızca 7, 13 veya 17 yıl gibi asal sayıları temsil eden süreler sonunda erginleşip yeryüzüne çıkarlar, çiftleşirler ve birkaç hafta içinde yaşam döngülerini tamamlayarak ölürler. Bu asal sayılara dayanan üreme döngüsü sürelerinin, avcıların bu döngülere uyum sağlamasını engellemek amacıyla evrildiği biyologlar tarafından öne sürülmektedir.^[182][183] Öte yandan, bambu bitkilerinde görülen çiçeklenme periyotlarının, çarpanlarında yalnızca küçük asal sayılar içeren pürüzsüz sayılar olduğu varsayılmaktadır. Bu durum, bambunun çiçeklenme zamanlamalarının küçük asal sayılara dayalı bir düzenlilik gösterdiğini işaret etmektedir.^[184]

Sanat ve edebiyat

Asal sayılar, pek çok sanatçı ve yazar üzerinde derin bir etkiye sahip olmuştur. Fransız besteci Olivier Messiaen, "doğal olaylar"ı referans alarak ametrik müzik üretmede asal sayıları kullanmıştır. La Nativité du Seigneur (1935) ve Quatre études de rythme (1949–50) eserlerinde, birbirinden farklı asal sayılara dayanan motif uzunluklarını simultane kullanımıyla öngörülemez ritimler oluşturmuştur: "Neumes rythmiques" adlı üçüncü etütte 41, 43, 47 ve 53 gibi asal sayılar yer almaktadır. Messiaen, bu kompozisyon tekniğini "doğanın hareketlerinden, serbest ve eşitsiz süreçlerde meydana gelen hareketlerden ilham alarak" geliştirdiğini belirtmiştir.^[185]

Bilimkurgu eseri Contact'ta, Carl Sagan, uzaylılarla iletişim kurma sürecinde iki boyutlu görüntü düzlemlerinin oluşturulmasında asal sayıların çarpanlarına ayrılmasının potansiyel bir yöntem olarak kullanılabileceğini ileri sürmüştür. Bu düşünceyi ilk defa 1975 yılında Amerikan astronom Frank Drake ile informal bir şekilde ortaya koymuştur.^[186] The Curious Incident of the Dog in the Night-Time adlı eserde, yazar Mark Haddon, ana karakterin, Asperger sendromuna sahip matematiksel yeteneği yüksek bir genç, zihinsel durumunu yansıtmak amacıyla hikayenin bölümlerini ardışık asal sayılar kullanarak düzenlemiştir.^[187] Paolo Giordano'nun The Solitude of Prime Numbers adlı romanında asal sayılar, yalnızlık ve tecrit duygularını sembolize etmek için kullanılmış, asal sayılar tam sayılar içerisinde "yabancı" olarak tasvir edilmiştir.^[188]

Asal oturanlar

Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.

Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:
23244 = 2² × 3 × 13 × 149

ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik asal çarpanlara ayırma algoritmaları vardır.

İkiz asallar

Ana madde: İkiz asallar sanısı

Aralarındaki fark iki olan asal sayılar hakkındaki ikiz asallar konjektürü.

Örneğin:

• (3, 5)
• (5, 7)
• (11, 13)
• (17, 19)
• (29, 31)
• (41, 43)
• (59, 61)
• (71, 73)
• (101, 103)
• (107, 109)

Chen asalları

Bir a asal sayısı (a+2) biçiminde yazıldığında asal ya da yarı asal oluyorsa a değeri, Chen asalı olarak adlandırılmaktadır. İkiz asallarda, küçük sayı^[189] aynı zamanda Chen asalıdır.

Asal örnekler:

• a = 5 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 5 + 2 = 7
• a = 11 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 11 + 2 = 13

Yarı asal örnekler:

• a = 2 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 2 + 2 = 4 ${\displaystyle \land }$ 2 × 2 = 4
• a = 7 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 7 + 2 = 9 ${\displaystyle \land }$ 3 × 3 = 9

Mersenne asalları

Bir a doğal sayısı (2^a – 1) biçiminde yazıldığında hesaplanan değer Mersenne sayısı, asal oluyorsa aynı zamanda Mersenne asalı olarak adlandırılmaktadır. Mersenne asalları hesaplanırken, a sayısı da^[190] asal olarak alınmaktadır. Ancak a sayısının asal olarak alındığı bazı durumlarda, bileşik Mersenne sayıları hesaplanabilmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 2^136,279,841 − 1, Mersenne asalıdır.

Mersenne asalları:

• 2² – 1 = 3
• 2⁵ – 1 = 31

Bileşik Mersenne sayıları:

• 2¹¹ – 1 = 2047

Goldbach hipotezi

Ana madde: Goldbach hipotezi

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi, doğru gözükmesine rağmen halen ispatlanamamıştır. "Her çift (2 hariç) sayı iki asal sayının toplamı mıdır?"

Örneğin:

• 4 = 2 + 2
• 6 = 3 + 3
• 8 = 3 + 5
• 10 = 3 + 7
• 12 = 5 + 7
• 14 = 3 + 11
• 16 = 3 + 13
• 18 = 5 + 13
• 20 = 3 + 17
• 22 = 3 + 19
• 24 = 5 + 19
• 26 = 7 + 19
• 28 = 5 + 23
• 30 = 7 + 23
• 32 = 3 + 29
• 34 = 5 + 29
• 36 = 7 + 29

Ayrıca bakınız

• Asal sayıların listesi
• Eratosten kalburu
• Mersenne asallları
• Fermat'nın küçük teoremi
• Öklid teoremi
• Goldbach hipotezi
• İkiz asallar
• Yarı asal
• Lasa sayı

Sayı sistemleri Karmaşık ${\displaystyle$ :\;\mathbb {C} } Reel ${\displaystyle$ :\;\mathbb {R} } Rasyonel ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Q} } Tam sayı ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Z} } Doğal ${\displaystyle$ :\;\mathbb {N} } Sıfır: 0 Bir: 1 Asal sayılar Bileşik sayılar Negatif tam sayılar Kesir Sonlu ondalık sayı İkili (sonlu ikili) Devirli ondalık sayı İrrasyonel Cebirsel irrasyonel Aşkın Sanal

Not listesi

1. Aimé Ferrier'in 1951'de bir mekanik hesap makinesi ile keşfettiği 44 basamaklı asal sayı, elektronik bilgisayarların yardımı olmadan keşfedilen en büyük asal sayı olma özelliğini korumaktadır.^[29]
2. Beiler'e göre, sayı teorisi uzmanı Ernst Kummer, asal sayılarla sıkı bir ilişki içinde bulunan ideal sayılarını, "herhangi bir pratik uygulama ile kendilerini kirletmedikleri için" özellikle benimsemiştir,^[31] Katz ise, asal sayıların dağılımı konusundaki çalışmalarıyla tanınan Edmund Landau'nun, matematiğin pratik uygulamalarına derin bir antipati duyduğunu ve bu sebeple, pratik faydaları önceden kanıtlanmış olan geometri gibi alanlardan uzak durduğunu ifade etmektedir.^[32]
3. Bu testte, ${\displaystyle \pm 1}$ terimi, ${\displaystyle a}$ sayısının varsayılan asal ${\displaystyle p}$ sayısına modulo bir kare olması durumunda negatif, aksi halde pozitiftir. Genel olarak, ${\displaystyle p}$ asal olmayan değerler için, ${\displaystyle \pm 1}$ terimi negatifleştirilmiş Jacobi sembolü olarak tanımlanır ve bu karşılıklı kuadratik kullanılarak hesaplanabilir.
4. Aslında, elips eğri asallığını kanıtlama analizlerinin büyük bir kısmı, algoritmaya giriş olarak sunulan sayının önceden bir olasılıksal testten geçtiği varsayımına dayanmaktadır.^[136]
5. ${\displaystyle n}$ parametresine bağlı olarak tanımlanan primorial fonksiyonu, ${\displaystyle n}$# şeklinde ifade edilir ve bu fonksiyon, ${\displaystyle n}$ değerine kadar olan tüm asal sayıların çarpımını hesaplar. Primorial asal terimi ise, ${\displaystyle n\pm 1}$ biçimlerinden herhangi birine uygun olan asal sayıları ifade etmek için kullanılır.^[150]

Kaynakça

1. "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^(136,279,841)-1". Mersenne Research, Inc. 21 Aralık 2018. 4 Kasım 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2024. 16. harf sırasında bulunan |başlık= parametresi line feed character içeriyor (yardım)
2. "Arşivlenmiş kopya". 12 Nisan 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Nisan 2020.
3. Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. s. 26. ISBN 978-0-19-850105-3.
4. Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2. bas.). Routledge. s. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.
5. Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. s. 16. OCLC 6975809.
6. Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. s. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9.
7. Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (2. bas.). W.H. Freeman and Co. s. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.
8. Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (2. bas.). Elsevier. s. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
9. Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414-416. MR 2039814.
10. Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. s. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.
11. Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. s. 40. MR 0170843.
12. Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.
13. Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (2.2yayıncı=John Wiley & Sons bas.). s. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.
14. Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4). ss. 291-298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458.
15. Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (3. bas.). Springer. s. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
16. Pomerance, Carl (Aralık 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6). ss. 136-147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.
17. Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1). ss. 18-29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.
18. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor Matematik Tarihi arşivi
19. Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45
20. Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. s. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.
21. Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. s. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
22. Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics (2.2cilt=4 bas.). World Scientific. s. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
23. Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. s. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.
24. Tchebychev, P. (1852). "Asal Sayılar Üzerine Bir Bellek" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (Fransızca): 366-390. 6 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 8 Mart 2024.. (Postulatın kanıtı: 371–382). Ayrıca bkz. Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, cilt 7, sayfa 15–33, 1854
25. Apostol, Tom M. (2000). "Asal sayı teoreminin yüzyıllık tarihi". Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (Ed.). Sayı Teorisi. Matematikte Eğilimler. Basel: Birkhäuser. ss. 1-14. MR 1764793.
26. Apostol, Tom M. (1976). "7. Aritmetik Dizilerdeki Asallar Üzerine Dirichlet Teoremi". Analitik Sayı Teorisi'ne Giriş. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. ss. 146-156. MR 0434929.
27. Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. s. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.
28. Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (4.4yayıncı=Addison-Wesley bas.). s. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.
29. Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. ss. 37-38. ISBN 978-1-107-01083-3.
30. Rosen 2000, s. 245.
31. Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. s. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.
32. Katz, Shaul (2004). "Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem". Science in Context. 17 (1–2). ss. 199-234. doi:10.1017/S0269889704000092. ISSN 0269-8897. MR 2089305.
33. Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. s. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.
34. Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. s. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.
35. Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. s. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.
36. Neale 2017, ss. 18, 47.
37. Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "The history of the primality of one: a selection of sources". Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523. 12 Nisan 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Mart 2024. For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.
38. Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy. 39. Brill. ss. 35-38. ISBN 978-90-04-06505-5.
39. Caldwell et al. 2012, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.
40. Caldwell et al. 2012, s. 15.
41. Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). "What is the smallest prime?" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530. 12 Nisan 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 8 Mart 2024.
42. Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2.2mr=1292250 bas.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. s. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9.
43. Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. ss. 129-130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676.
44. Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 1986. s 31.< 29 Mart 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.>
45. Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. ss. 118. ISBN 0-19-285361-9. The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes
46. ""Why is the number one not prime?" 9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.". Retrieved 2007-10-02.
47. ""Arguments for and against the primality of 1 25 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.".
48. Totient için bkz. Sierpiński 1988, s. 245. Bölenlerin toplamı için bkz. Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. s. 59. ISBN 978-0-88385-563-8.
49. Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (12.12yayıncı=Cengage Learning bas.). s. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.
50. Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. p. 107: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-109243-5.
51. du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. s. 23. ISBN 978-0-06-093558-0.
52. Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. ss. 77-78. ISBN 978-0-19-150050-3.
53. Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (2.2yayıncı=Prentice Hall bas.). Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.
54. Letter 11 Haziran 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Goldbach'tan Euler'e Latince, Temmuz 1730.
55. Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5). s. 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.
56. Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. s. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.
57. Öklid'in Elementleri, Book IX, Proposition 20. bakınız David Joyce'un Öklid'in ispatının İngilizce çevirisi 23 Ocak 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. ya da Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. s. 63. OCLC 642232959. 26 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Mart 2024.
58. Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. ss. 82-89. ISBN 978-0-201-52989-0.
59. Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". Tabachnikov, Serge (Ed.). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. ss. 13-24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
60. Mackinnon, Nick (June 1987). "Prime number formulae". The Mathematical Gazette. 71 (456): 113-114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496.
61. Wright, E.M. (1951). "A prime-representing function". American Mathematical Monthly. 58 (9): 616-618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356.
62. Guy 2013, p. vii.
63. Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, pp. 105–107.
64. Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to ${\displaystyle 4\cdot 10^{18}}$". Mathematics of Computation. 83 (288). ss. 2033-2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1. MR 3194140.
65. Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247. See especially p. 239.
66. Guy 2013, p. 159.
67. Ramaré, Olivier (1995). "On Šnirel'man's constant". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4). ss. 645-706. MR 1375315. 9 Şubat 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ocak 2018.
68. Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. s. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.
69. Koshy 2002, Theorem 2.14, p. 109. Riesel 1994, faktöriyel yerine asal çarpanın kullanıldığı benzer bir mantıksal çıkarımı sunmaktadır.
70. Riesel 1994, "Large gaps between consecutive primes", pp. 78–79.
71. Şablon:Cite OEIS
72. Ribenboim 2004, Gaps between primes, pp. 186–192.
73. Ribenboim 2004, p. 183.
74. Chan, Joel (February 1996). "Prime time!". Math Horizons. 3 (3). ss. 23-25. doi:10.1080/10724117.1996.11974965. JSTOR 25678057. Note that Chan lists Legendre's conjecture as "Sierpinski's Postulate".
75. Ribenboim 2004, Prime ${\displaystyle k}$-tuples conjecture, pp. 201–202.
76. Sandifer 2007, Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208.
77. Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. ss. 29-35. ISBN 978-0-486-25778-5.
78. Apostol 1976, Section 1.6, Theorem 1.13
79. Apostol 1976, Bölüm 4.8, Teorem 4.12
80. Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. ss. 43-44. ISBN 978-0-691-12060-7.
81. Crandall & Pomerance 2005, p. 6.
82. Crandall & Pomerance 2005, Section 3.7, Counting primes, pp. 152–162.
83. Crandall & Pomerance 2005, p. 10.
84. du Sautoy, Marcus (2011). "What are the odds that your telephone number is prime?". The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. ss. 50-52. ISBN 978-0-230-12028-0.
85. Apostol 1976, Section 4.6, Theorem 4.7
86. Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. s. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.
87. Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. s. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.
88. Crandall & Pomerance 2005, Theorem 1.1.5, p. 12.
89. Green, Ben; Tao, Terence (2008). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". Annals of Mathematics. 167 (2): 481-547. arXiv:math.NT/0404188 $2. doi:10.4007/annals.2008.167.481.
90. Hua, L.K. (2009) [1965]. Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. ss. 176-177. ISBN 978-0-8218-4942-2. MR 0194404. OCLC 824812353.
91. The sequence of these primes, starting at ${\displaystyle n=1}$ rather than ${\displaystyle n=0}$, is listed by Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). "Chapter 33. Formule fortunate". 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (İtalyanca). Ulrico Hoepli Editore S.p.A. s. 133. ISBN 978-88-203-5804-4.
92. Chamberland, Marc (2015). "The Heegner numbers". Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. ss. 213-215. ISBN 978-1-4008-6569-7.
93. Guy (2013). "A1 Prime values of quadratic functions". Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics (3.3ad=Richard bas.). Springer. ss. 7-10. ISBN 978-0-387-26677-0.
94. Patterson, S.J. (1988). An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 14. Cambridge University Press, Cambridge. s. 1. doi:10.1017/CBO9780511623707. ISBN 978-0-521-33535-5. MR 0933558.
95. Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). Riemann hipotezi: Aficionado ve virtüöz için bir kaynak. CMS Matematik Kitapları/SMC Mathématiques Ouvrages. New York: Springer. ss. 10-11. doi:10.1007/978-0-387-72126-2. ISBN 978-0-387-72125-5. MR 2463715.
96. Sandifer 2007, sayfalar 191–193.
97. Borwein et al. 2008, Conjecture 2.7 (the Riemann hypothesis), p. 15.
98. Patterson 1988, p. 7.
99. Borwein et al. 2008, p. 18.
100. Nathanson 2000, Chapter 9, The prime number theorem, pp. 289–324.
101. Zagier, Don (1977). "The first 50 million prime numbers". The Mathematical Intelligencer. 1 (S2): 7-19. doi:10.1007/bf03351556. özellikle bakınız: pp. 14–16.
102. Kraft & Washington (2014), Proposition 5.3, p. 96.
103. Shahriari, Shahriar (2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts. 27. American Mathematical Society. ss. 20-21. ISBN 978-1-4704-2849-5.
104. Dudley 1978, Theorem 3, p. 28.
105. Shahriari 2017, pp. 27–28.
106. Ribenboim 2004, Fermat's little theorem and primitive roots modulo a prime, pp. 17–21.
107. Ribenboim 2004, The property of Giuga, pp. 21–22.
108. Ribenboim 2004, The theorem of Wilson, p. 21.
109. Childress, Nancy (2009). Class Field Theory. Universitext. Springer, New York. ss. 8-11. doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. MR 2462595. See also p. 64.
110. Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (2.2 isbn = 978-1-4987-1749-6 bas.). Boca Raton, FL: CRC Press. s. 200. MR 3468748.KB1 bakım: Dikey çizgi eksik (link)
111. Weil, André (1995). Basic Number Theory. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. s. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916. Note however that some authors such as Childress (2009) instead use "place" to mean an equivalence class of norms.
112. Koch, H. (1997). Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. s. 136. CiteSeerX 10.1.1.309.8812 $2. doi:10.1007/978-3-642-58095-6. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965.
113. Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. s. 127. doi:10.1017/CBO9780511804229. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325.
114. Lauritzen 2003, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.
115. Kraft & Washington 2014, Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301.
116. Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 150. Section 3.3: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.
117. Shafarevich, Igor R. (2013). "Definition of ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$". Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (3.3 isbn = 978-3-642-38009-9 bas.). Springer, Heidelberg. s. 5. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. MR 3100288.KB1 bakım: Dikey çizgi eksik (link)
118. Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 322. Section I.8, p. 50: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859.
119. Neukirch 1999, Section I.7, p. 38
120. Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W. Jr. (1996). "Chebotarëv and his density theorem". The Mathematical Intelligencer. 18 (2): 26-37. CiteSeerX 10.1.1.116.9409 $2. doi:10.1007/BF03027290. MR 1395088.
121. Hall, Marshall (2018). The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. Sylow teoremleri için bkz. s. 43; Lagrange teoremi için bkz. s. 12; Burnside teoremi için bkz. s. 143.
122. Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet. p. 178: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13118-4.
123. Hardy, Godfrey Harold (2012) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. s. 140. ISBN 978-0-521-42706-7. OCLC 922010634. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years.
124. Giblin, Peter (1993). Primes and Programming. Cambridge University Press. s. 39. ISBN 978-0-521-40988-9.
125. Giblin 1993, p. 54
126. Riesel 1994, p. 220.
127. Bullynck, Maarten (2010). "A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817". Revue d'Histoire des Mathématiques. 16 (2): 133-216. 4 Haziran 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Mart 2024.
128. Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library. 68. American Mathematical Society. s. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3.
129. Crandall; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (2.2ad1=Richard bas.). Springer. s. 121. ISBN 978-0-387-25282-7.
130. Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). "On the complexity of computing prime tables". Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa (Ed.). Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. 9472. Springer. ss. 677-688. arXiv:1504.05240 $2. doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57. ISBN 978-3-662-48970-3.
131. Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43. Springer. s. 1. ISBN 978-3-662-04658-6.
132. Hromkovič, Juraj (2001). "5.5 Bibliographic Remarks". Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. ss. 383-385. doi:10.1007/978-3-662-04616-6. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669.
133. Koblitz, Neal (1987). "Chapter V. Primality and Factoring". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114. Springer-Verlag, New York. ss. 112-149. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 0910297.
134. Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). "2.3.9 Probabilistic Computations". Fundamentals of Computer Security. Springer. ss. 51-52. ISBN 978-3-662-07324-7.
135. Tao, Terence (2010). "1.11 The AKS primality test". An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics. 117. Providence, RI: American Mathematical Society. ss. 82-86. doi:10.1090/gsm/117. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010.
136. Atkin, A O.L.; Morain, F. (1993). "Elliptic curves and primality proving" (PDF). Mathematics of Computation. 61 (203): 29-68. Bibcode:1993MaCom..61...29A. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x. JSTOR 2152935. MR 1199989.
137. Morain, F. (2007). "Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm". Mathematics of Computation. 76 (257): 493-505. arXiv:math/0502097 $2. Bibcode:2007MaCom..76..493M. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4. MR 2261033.
138. Lenstra, H. W. Jr.; Pomerance, Carl (2019). "Primality testing with Gaussian periods" (PDF). Journal of the European Mathematical Society. 21 (4): 1229-1269. doi:10.4171/JEMS/861. hdl:21.11116/0000-0005-717D-0. MR 3941463. 27 Aralık 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 26 Mart 2024.
139. Carl Pomerance; John L. Selfridge; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 1980). "The pseudoprimes to 25·10⁹" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (151): 1003-1026. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7 . JSTOR 2006210. 17 Ocak 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 26 Mart 2024.
140. Robert Baillie; Samuel S. Wagstaff, Jr. (October 1980). "Lucas Pseudoprimes" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (152): 1391-1417. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6 . JSTOR 2006406. MR 0583518. 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 26 Mart 2024.
141. Monier, Louis (1980). "Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms". Theoretical Computer Science. 12 (1): 97-108. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9. MR 0582244.
142. Tao, Terence (2009). "1.7 The Lucas–Lehmer test for Mersenne primes". Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I. Providence, RI: American Mathematical Society. ss. 36-41. ISBN 978-0-8218-4883-8. MR 2523047.
143. Kraft & Washington 2014, s. 41.
144. Örnek olarak Guy 2013, A3 Mersenne asalları. Tekrarlanan birimler. Fermat sayıları. ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ şeklindeki asal sayılar. ss. 13–21.
145. "Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize". Electronic Frontier Foundation. 14 Ekim 2009. 5 Ağustos 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Ocak 2010.
146. "EFF Cooperative Computing Awards". Electronic Frontier Foundation. 29 Şubat 2008. 9 Kasım 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Ocak 2010.
147. "PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject" (PDF). 12 Kasım 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 3 Ocak 2017.
148. Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Largest Known Primes". The Prime Pages. 16 Temmuz 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Ocak 2017.
149. Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Factorial". The Prime Pages. 10 Nisan 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Ocak 2017.
150. Ribenboim 2004, p. 4.
151. Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Primorial". The Prime Pages. 6 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Ocak 2017.
152. Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Twin Primes". The Prime Pages. 27 Ocak 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Ocak 2017.
153. Kraft & Washington 2014, p. 275.
154. Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, Joseph H. (2014). An Introduction to Mathematical Cryptography. Undergraduate Texts in Mathematics (2.2yayıncı=Springer bas.). s. 329. ISBN 978-1-4939-1711-2.
155. Pomerance, Carl (1996). "A tale of two sieves". Notices of the American Mathematical Society. 43 (12): 1473-1485. MR 1416721.
156. Emmanuel Thomé, “795-bit factoring and discrete logarithms,” 8 Aralık 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Aralık 2, 2019.
157. Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011). "Chapter 8. Shor's Algorithm". Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. ss. 163-176. ISBN 978-0-262-01506-6.
158. Martín-López, Enrique; Laing, Anthony; Lawson, Thomas; Alvarez, Roberto; Zhou, Xiao-Qi; O'Brien, Jeremy L. (12 Ekim 2012). "Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling". Nature Photonics. 6 (11). ss. 773-776. arXiv:1111.4147 $2. Bibcode:2012NaPho...6..773M. doi:10.1038/nphoton.2012.259.
159. Chirgwin, Richard (9 Ekim 2016). "Crypto needs more transparency, researchers warn". The Register. 12 Temmuz 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Mart 2024.
160. Hoffstein, Pipher & Silverman 2014, Section 2.3, Diffie–Hellman key exchange, pp. 65–67.
161. Şablon:Introduction to Algorithms ${\displaystyle k}$-bağımsız hashing ile ilgili problem 11–4, sayfa 251. Carter ve Wegman'a atıfla ilgili, bölüm notlarını inceleyiniz, sayfa 252.
162. Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2006). Data Structures & Algorithms in Java. 4th. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-73884-8. "Quadratic probing" hakkında bilgi için, sayfa 382 ve alıştırma C–9.9, sayfa 415'e bakınız.
163. Kirtland, Joseph (2001). Identification Numbers and Check Digit Schemes. Classroom Resource Materials. 18. Mathematical Association of America. ss. 43-44. ISBN 978-0-88385-720-5.
164. Deutsch, P. (1996). ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3. Request for Comments. 1950. Network Working Group. 26 Şubat 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Mart 2024.
165. Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji (1998). "Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator". ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 8 (1). ss. 3-30. CiteSeerX 10.1.1.215.1141 $2. doi:10.1145/272991.272995.
166. Knuth, Donald E. (1998). "3.2.1 The linear congruential model". The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical algorithms. 3rd. Addison-Wesley. ss. 10-26. ISBN 978-0-201-89684-8.
167. Roth, K.F. (1951). "On a problem of Heilbronn". Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 26 (3). ss. 198-204. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.198. MR 0041889.
168. Cox, David A. (2011). "Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first" (PDF). American Mathematical Monthly. 118 (1). ss. 3-31. CiteSeerX 10.1.1.398.3440 $2. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003. 26 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 29 Mart 2024.
169. Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211. Berlin; New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556., Section II.1, s. 90
170. Schubert, Horst (1949). "Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten". S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (3). ss. 57-104. MR 0031733.
171. Milnor, J. (1962). "A unique decomposition theorem for 3-manifolds". American Journal of Mathematics. 84 (1). ss. 1-7. doi:10.2307/2372800. JSTOR 2372800. MR 0142125.
172. Boklan & Conway (2017) ayrıca ${\displaystyle 2^{0}+1=2}$, bu formda olmamakla birlikte, sayısını da içerir.
173. Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. CMS Books in Mathematics. 9. New York: Springer-Verlag. ss. 1-2. doi:10.1007/978-0-387-21850-2. ISBN 978-0-387-95332-8. MR 1866957.
174. Boklan, Kent D.; Conway, John H. (January 2017). "Expect at most one billionth of a new Fermat prime!". The Mathematical Intelligencer. 39 (1). ss. 3-5. arXiv:1605.01371 $2. doi:10.1007/s00283-016-9644-3.
175. Gleason, Andrew M. (1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon". American Mathematical Monthly. 95 (3). ss. 185-194. doi:10.2307/2323624. JSTOR 2323624. MR 0935432.
176. Ziegler, Günter M. (2015). "Cannons at sparrows". European Mathematical Society Newsletter, 95. ss. 25-31. MR 3330472.
177. Peterson, Ivars (28 Haziran 1999). "The Return of Zeta". MAA Online. 20 Ekim 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 14 Mart 2008.
178. Hayes, Brian (2003). "Computing science: The spectrum of Riemannium". American Scientist. 91 (4). ss. 296-300. doi:10.1511/2003.26.3349. JSTOR 27858239.
179. Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of quantum states : an introduction to quantum entanglement. Second. Cambridge: Cambridge University Press. ss. 313-354. ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC 967938939.
180. Zhu, Huangjun (2010). "SIC POVMs and Clifford groups in prime dimensions". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 43 (30). s. 305305. arXiv:1003.3591 $2. Bibcode:2010JPhA...43D5305Z. doi:10.1088/1751-8113/43/30/305305.
181. Goles, E.; Schulz, O.; Markus, M. (2001). "Prime number selection of cycles in a predator-prey model". Complexity. 6 (4). ss. 33-38. Bibcode:2001Cmplx...6d..33G. doi:10.1002/cplx.1040.
182. Campos, Paulo R.A.; de Oliveira, Viviane M.; Giro, Ronaldo; Galvão, Douglas S. (2004). "Emergence of prime numbers as the result of evolutionary strategy". Physical Review Letters. 93 (9). s. 098107. arXiv:q-bio/0406017 $2. Bibcode:2004PhRvL..93i8107C. doi:10.1103/PhysRevLett.93.098107. PMID 15447148.
183. "Invasion of the Brood". The Economist. 6 Mayıs 2004. 15 Mayıs 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Kasım 2006.
184. Zimmer, Carl (15 Mayıs 2015). "Bamboo Mathematicians". National Geographic. 6 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Şubat 2018.
185. Hill, Peter Jensen, (Ed.) (1995). The Messiaen companion. Ex. 13.2 Messe de la Pentecôte 1 'Entrée': Amadeus Press. ISBN 978-0-931340-95-6.
186. Pomerance, Carl (2004). "Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence" (PDF). Hayes, David F.; Ross, Peter (Ed.). Mathematical Adventures for Students and Amateurs. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. ss. 3-6. ISBN 978-0-88385-548-5. MR 2085842.
187. GrrlScientist (16 Eylül 2010). "The Curious Incident of the Dog in the Night-Time". The Guardian. 22 Eylül 2010 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Şubat 2010.
188. Schillinger, Liesl (9 Nisan 2010). "Counting on Each Other". The New York Times. 12 Nisan 2010 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Mart 2024.
189. "Chen Asalı". Chen Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 15 Mart 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023.
190. "Mersenne Asalı". Mersenne Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 11 Mayıs 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023.