Asal sayı teoremi

Asal sayı teoremi (PNT) (İngilizce: Prime Number Theorem), asal sayıların pozitif tam sayılar arasındaki asimptotik dağılımını tanımlar. Bunun meydana gelme hızını tam olarak ölçerek, asal sayıların büyüdükçe daha az yaygın hale geldiği şeklindeki sezgisel fikri resmîleştirir. Teorem, 1896'da Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée Poussin tarafından bağımsız olarak Bernhard Riemann'ın ortaya attığı fikirler (özellikle Riemann zeta fonksiyonu) kullanılarak kanıtlandı.

Asal sayı teoremi

Önerme

π(x), herhangi bir x gerçek sayısı için x'ten küçük veya ona eşit asal sayıların sayısı olarak tanımlanan asal sayma fonksiyonu olsun. Örneğin, π(10) = 4 olur çünkü 10'dan küçük veya eşit dört asal sayı (2, 3, 5 ve 7) vardır. Asal sayı teoremi bu durumda x / log x'in π(x) için iyi bir yaklaşım olduğunu belirtir. (burada log doğal logaritma anlamına gelir), yani x sınırsız olarak arttıkça iki fonksiyon π(x) ve x / log x'in bölümünün limitinin 1 olması anlamına gelir.

Asal sayıların asimptotik yasasının ispatının tarihi

Anton Felkel ve Jurij Vega'nın tablolarına dayanarak, Adrien-Marie Legendre 1797 veya 1798'de π(a)'nın a / (A log a + B) fonksiyonu tarafından yaklaştırıldığını varsaydı, burada A ve B belirtilmemiş sabitlerdir. Sayılar teorisi kitabının ikinci baskısında (1808) daha sonra A = 1 ve B = -1.08366 olacak şekilde daha kesin bir varsayımda bulundu. Carl Friedrich Gauss, 1849'daki kendi hatırasına göre, aynı soruyu "1792 veya 1793 yılında" 15 veya 16 yaşındayken düşündü. 1838'de Peter Gustav Lejeune Dirichlet kendi yaklaşık fonksiyonunu, logaritmik integral li(x)'i (Gauss'a ilettiği biraz farklı bir seri formu altında) buldu. Hem Legendre'nin hem de Dirichlet'in formülleri, yukarıda belirtilen π(x) ve x / log(x)'in aynı varsayılan asimptotik eşdeğerliğini ima eder, ancak Dirichlet'in yaklaşımının, bölümler yerine farklar dikkate alındığında önemli ölçüde daha iyi olduğu ortaya çıkmıştır.

Rus matematikçi Pafnuty Chebyshev, 1848 ve 1850 tarihli iki makalesinde asal sayıların asimptotik dağılım yasasını kanıtlamaya çalışmıştır. Çalışmaları, 1737 gibi erken bir tarihte Leonhard Euler'in çalışmalarında olduğu gibi, "s" argümanının gerçek değerleri için ζ(s) zeta fonksiyonunu kullanmasıyla dikkat çekmektedir. Chebyshev'in makaleleri Riemann'ın 1859 tarihli ünlü anılarından önceydi ve asimptotik yasanın biraz daha zayıf bir biçimini, yani x sonsuza giderken π(x) / (x / log(x)) limiti varsa, o zaman zorunlu olarak bire eşit olduğunu kanıtlamayı başardı. Bu oranın yeterince büyük tüm x'ler için yukarıda ve aşağıda 1'e yakın açıkça verilen iki sabitle sınırlandığını koşulsuz olarak kanıtlayabilmiştir. Chebyshev'in makalesi Asal Sayı Teoremini kanıtlamamış olsa da, π(x) için yaptığı tahminler Bertrand'ın herhangi bir n ≥ 2 tam sayısı için n ile 2n arasında bir asal sayı olduğu varsayımını kanıtlamasına yetecek kadar güçlüdür.

Bilgisayar Doğrulamaları

2005 yılında Avigad ve arkadaşları Isabelle teorem ispatlayıcısını kullanarak PNT'nin Erdős-Selberg ispatının bilgisayar tarafından doğrulanmış bir varyantını geliştirmiştir.[27] Bu, PNT'nin makine tarafından doğrulanmış ilk ispatıydı. Avigad, analitik bir ispat yerine Erdős-Selberg ispatını formalize etmeyi seçti çünkü Isabelle'in o zamanki kütüphanesi limit, türev ve transandantal fonksiyon kavramlarını uygulayabilse de, neredeyse hiç entegrasyon teorisine sahip değildi.

2009 yılında John Harrison, karmaşık analiz kullanan bir ispatı resmîleştirmek için HOL Light'ı kullandı. Cauchy integral formülü de dahil olmak üzere gerekli analitik mekanizmayı geliştirerek Harrison, "daha karmaşık 'temel' Erdős-Selberg argümanı yerine doğrudan, modern ve zarif bir ispat" resmîleştirebildi.

n'inci asal sayı için yaklaşımlar

Asal sayı teoreminin bir sonucu olarak, p(n) ile gösterilen n'inci asal sayı için asimptotik bir ifade elde edilir:

p(n) ≈ n.log(n)

Ayrıca Rosser'in teoremi şunu belirtir:

p(n) > n.log(n)