Rombiikozidodekaeder

Rombiikozidodekaeder ali mali rombiikozidodekaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Rombiikozidodekaeder
(animacija)
vrsta	arhimedsko telo uniformni polieder
elementi	F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2)
stranske ploskve na stran	20{3} + 30{4} + 12{5}
Conwayjev zapis	eD ali aaD
Schläflijevi simboli	rr{5,3} ali ${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$
	t0,2{5,3}
Wythoffov simbol	3 5 | 2
Coxeter-Dinkinov diagram
simetrija	Ih, H3, [5,3], (*532), red 120
vrtilna grupa	I, [5,3]+, (532), red 60
diedrski kot	3-4: 159°05′41″ (159,09°) 4-5: 148°16′57″ (148,28°)
sklici	U27, C30, W14
značilnosti	konveksen polpravilen
obarvane stranske ploskve	3.4.5.4 (slika oglišč)
deltoidni heksekontaeder (dualni polieder)	mreža telesa

Ima dvainšestdeset pravilnih stranskih ploskev, od tega dvajset enakostraničnotrikotniških, trideset kvadratnih in dvanajst petkotniških, ter 120 robov in 60 oglišč.

Ime 'rombiikozidodekaeder' se nanaša na dejstvo, da 30 kvadratnih ploskev leži v istih ravninah kot 30 ploskev rombskega triakontaedra (rombitriakontaedra), ki je dual ikozidodekaedra.

Lahko se imenuje tudi razširjeni ali kantelirani dodekaeder ali ikozaeder iz operacij prisekavanja na uniformni polieder.

Geometrijski odnosi

Če se razširi ikozaeder s pravšnjim premikanjem stranskih ploskev stran od izhodišča brez spreminjanja usmerjenosti ali velikost stranskih ploskev, in enako za njegov dual dodekaeder, ter se zapolnijo nastale kvadratne luknje, se dobi rombiikozidodekaeder. Zaradi tega ima enako število trikotnikov kot ikozaeder (20) in enako število petkotnikov kot dodekaeder (12), s kvadratom za vsak rob obeh likov.

Rombiikozidodekaeder ima skupno razvrstitev oglišč z malim zvezdnim prisekanim dodekaedrom in uniformnimi sestavi šestih ali dvanajstih pentagramskih prizem.

Orodja Zometool za izdelavo geodetskih kupol in drugih poliedrov kot povezave uporablja preluknjane kroglice. Kroglice so »razširjeni« rombiikozidodekaedri, kjer so namesto kvadratov pravokotniki. Razširjanje je izbrano tako, da so nastali pravokotniki zlati.

Dvanajst od 92 Johnsonovih teles je izvedeno iz rombiikozidodekaedra, štiri z zasukom ene ali več petstranih kupol: girorombiikozidodekaeder, paradvojni, metadvojni in trojni girorombiikozidodekaeder. Osem drugih se lahko skonstruira z odstanitvijo do treh kupol, včasih tudi z zasukom ene ali več drugih kupol.

Kartezične koordinate

Kartezične koordinate 60 oglišč rombiikozidodekaedra s središčem v izhodišču z dolžino robu enako 2 so vse sode permutacije:^[1]

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm \Phi ^{3}\!\,,}$

${\displaystyle (\pm \Phi ^{2},\pm \Phi ,\pm 2\Phi )\!\,,}$

${\displaystyle (\pm (2+\Phi ),0,\pm \Phi ^{2})\!\,,}$

kjer je: ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,}$ število zlatega reza.

Površina in prostornina

Površina P in prostornina V rombiikozidodekaedra z dolžino roba a sta:

${\displaystyle P=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59,30598284a^{2}\!\,,}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(60+29{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 41,61532378a^{3}\!\,.}$

Pravokotne projekcije

Rombiikozidodekaeder ima pet posebnih pravokotnih projekcij usrediščenih na oglišče, dve vrsti robov in tri vrste stranskih ploskev (enakostranični trikotniki, kvadrati in petkotniki). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama A₂ in H₂.

Pravokotne projekcije

usrediščeno na	oglišče	rob 3-4	rob 5-4	stransko ploskev – kvadrat	stransko ploskev – enakostranični trikotnik	stransko ploskev – petkotnik
slika
projektivna simetrija	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
deltoidni heksekontaeder

Sferno tlakovanje

Rombiikozidodekaeder se lahko predstavi tudi kot sferno tlakovanje in projicira na ravnino s stereografsko projekcijo. Ta projekcija je konformna in ohranja kote ne pa tudi ploščin ali dolžin. Premice na sferi se projicirajo kot krožni loki na ravnino.

	usrediščeno na petkotnik	usrediščeno na enakostranični trikotnik	usrediščeno na kvadrat
ortografska projekcija	stereografske projekcije

Sorodni poliedri in tlakovanja

Razširjenje tako dodekaedra ali ikozaedra da rombiikozidodekaeder.

Družina uniformnih ikozaedrskih poliedrov
Simetrija: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duali uniformnih poliedrov
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Spremembe simetrije

Ta polieder je topolško povezan z nizom kanteliranih poliedrov s sliko oglišč (3.4.n.4), ki se nadaljuje kot tlakovanje hiperbolične ravnine. Te ogliščno prehodne oblike imajo zrcalno simetrijo (*n32).

Različice simetrij *n32 razširjenih tlakovanj: 3.4.n.4
simetrija *n32 [n,3]	sferna				evklidska	kompaktna hiperb.		parakomp.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
slika
konfig.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Johnsonova telesa

Obstaja 13 sorodnih Johnsonovih teles, 5 z zmanjšanjem in 8, ki vključujejo giracije:

Zmanjšani

J5

76

80

81

83

Girirani in/ali zmanjšani

72	73	74	75
77	78	79	82

Razvrstitev oglišč

Rombiikozidodekaeder ima skupno razvrstitev oglišč s tremi nekonveksnimi uniformnimi poliedri: malim zvezdnim prisekanim dodekaedrom, malim dodeciikozidodekaedrom (skupne so trikotniške in petkotniške stranske ploskve) in malim rombidodekaedrom (skupne so kvadratne stranske ploskve).

Ima tudi skupno razvrstitev oglišč z uniformnimi sestavi šestih ali dvanajstih pentagramskih prizem.

rombiikozidodekaeder	mali dodeciikozidodekaeder	mali rombidodekaeder
mali zvezdni prisekani dodekaeder	sestav šestih pentagramskih prizem	sestav dvanajstih pentagramskih prizem

Glej tudi

• rombiikozidodekaedrski graf
• prisekani rombiikozidodekaeder