Основные свойства
Для комплексных матриц и размера , произвольных комплексных чисел и , единичной матрицы и нулевой матрицы , экспонента обладает следующим свойствами:
- ;
- ;
- ;
- если , то ;
- если — невырожденная матрица, то .
- , где обозначает транспонированную матрицу для , отсюда следует, что если является симметричной, то тоже симметрична, а если — кососимметричная матрица, то — ортогональная;
- , где обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу для , отсюда следует, что если — эрмитова матрица, то тоже эрмитова, а если — антиэрмитова матрица, то — унитарная
- , где — след матрицы .
Системы линейных дифференциальных уравнений
Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений[1]. Решение системы:
- ,
где — постоянная матрица, даётся выражением:
Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида
- .
Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида
- ,
где — не постоянная, но разложение Магнуса[англ.] позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.
Экспонента суммы
Для любых двух вещественных чисел (скаляров) и экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению , это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы и коммутируют (то есть ), то . Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.
В общем случае из равенства не следует, что и коммутируют.
Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.
Теорема Либа
Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа[англ.], гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы , функция:
является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц[3].
Экспоненциальное отображение
Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к матрица равна , это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:
из пространства всех матриц размерности на полную линейную группу порядка , то есть группу всех невырожденных матриц размерности . Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел , а не вещественных чисел ).
Для любых двух матриц и имеет место неравенство
- ,
где обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах .
Отображение:
определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при .
Линейные дифференциальные уравнения
Пример однородной системы
Для системы:
её матрица есть:
Можно показать, что экспонента от матрицы есть
таким образом, общее решение этой системы есть:
Обобщение: вариация произвольной постоянной
В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде:
:
Чтобы было решением, должно иметь место следующее:
Таким образом:
где определяется из начальных условий задачи.
Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 544—547. — 560 с.
Bhatia, R. Matrix Analysis (неопр.). — Springer, 1997. — Т. 169. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94846-1.