След матрицы

Для термина «След» см. также другие значения.

След ма́трицы — сумма всех элементов главной диагонали квадратной матрицы, то есть если ${\displaystyle a_{ij}}$ — элементы квадратной матрицы ${\displaystyle A}$, то её след ${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum _{i}a_{ii}}$. Операция взятия следа отображает пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)^[1].

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: ${\displaystyle \operatorname {tr} A}$ (от англ. trace — след), и ${\displaystyle \operatorname {Sp} A}$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: ${\displaystyle \operatorname {tr} A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A}$.

Определение

Под следом квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ понимают:

${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn},}$

где ${\displaystyle a_{ii}}$ — элементы главной диагонали:

${\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{pmatrix}\color {red}{a_{11}}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\color {red}{\ddots }&\vdots \\a_{n1}&\cdots &\color {red}{a_{nn}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\color {red}{a_{ii}}}$.

Свойства

• Линейность ${\displaystyle \operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} A+\beta \operatorname {tr} B}$.
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$.

  Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: ${\displaystyle \operatorname {tr} (C^{-1}AC)=\operatorname {tr} A}$.

• ${\displaystyle \operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A^{\mathrm {T} }}$, где ${\displaystyle \mathrm {T} }$ означает операцию транспонирования.
• ${\displaystyle \ln \det A=\operatorname {tr} \ln A}$.
• Если ${\displaystyle A\otimes B}$ — тензорное произведение матриц A и B, то ${\displaystyle \operatorname {tr} A\otimes B=(\operatorname {tr} A)(\operatorname {tr} B)}$.
• След матрицы равен сумме её собственных значений.
• Определитель квадратной матрицы ${\displaystyle n\times n}$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие ${\displaystyle n}$. Например ${\displaystyle \det A_{3\times 3}={\frac {1}{6}}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\cdot \operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)}$.

Геометрическое свойство

• ${\displaystyle \det(E+G\varepsilon )=1+\operatorname {tr} G\varepsilon +o(\varepsilon )}$,

где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

• Следствия:
  • ${\displaystyle \det \exp(G\alpha )=1+\operatorname {tr} G\alpha }$ для малых α.
  • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также

• След (теория полей)