След матрицы

У этого термина существуют и другие значения, см. След.

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если ${\displaystyle a_{ij}}$ элементы матрицы ${\displaystyle A}$, то её след ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A=\sum _{i}a_{ii}}$. Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)^[1].

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A}$ (от англ. trace — след), и ${\displaystyle \mathop {\rm {Sp}} \;A}$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: ${\displaystyle {\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A}$.

Определение

Под следом квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ понимают:

${\displaystyle \mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n},}$

где ${\displaystyle a_{i,i}}$ — элементы главной диагонали:

${\displaystyle \mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {red}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {red}{\ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {red}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\color {red}{a_{i,i}}}$.

Свойства

• Линейность ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \mathop {\rm {tr}} \;B}$.
• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(AB)=\mathop {\rm {tr}} \;(BA)}$.

  Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr}} \;A}$.

• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A=\mathop {\rm {tr}} \;A^{\mathrm {T} }}$, где ${\displaystyle \mathrm {T} }$ означает операцию транспонирования.
• ${\displaystyle \ln \det A=\mathop {\rm {tr}} \;\ln A}$.
• Если ${\displaystyle A\otimes B}$ тензорное произведение матриц A и B, то ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A\otimes B=(\mathop {\rm {tr}} \;A)(\mathop {\rm {tr}} \;B)}$.
• След матрицы равен сумме её собственных значений.
• Определитель квадратной матрицы ${\displaystyle n\times n}$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие ${\displaystyle n}$. Например ${\displaystyle \det A_{3\times 3}={\frac {1}{6}}\left((\mathop {\rm {tr}} A)^{3}-3\mathop {\rm {tr}} A\cdot \mathop {\rm {tr}} A^{2}+2\mathop {\rm {tr}} A^{3}\right)}$.

Геометрическое свойство

• ${\displaystyle \mathop {\rm {det}} (E+G\varepsilon )=1+\mathop {\rm {tr}} G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon )}$,

где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

• Следствия:
  • ${\displaystyle \mathop {\rm {det}} \ \mathop {\rm {exp}} (G\alpha )=1+\mathop {\rm {tr}} G\ \alpha \ }$ для малых α
  • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также

• След (теория полей)

Примечания

1. Лисовский, Фёдор Викторович. Новый англо-русский словарь по электронике: в двух томах, около 100000 терминов и 7000 сокращений. — Москва: ABBYY Press, 2009. — 2 volumes с. — ISBN 9785391000051, 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Trace of a square matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4