Норма матрицы — норма в линейном пространстве матриц, как правило некоторым образом связанная с соответствующей векторной нормой (согласованная➤ или подчиненная➤).
Пусть K — основное поле (обычно K = R или K = C) и — линейное пространство всех матриц с m строками и n столбцами, состоящих из элементов K.
На пространстве матриц задана норма, если каждой матрице ставится в соответствие неотрицательное действительное число , называемое ее нормой, так, что
- , если , и , если .
- .
- [1].
В случае квадратных матриц (то есть m = n), матрицы можно перемножать не выходя из пространства, и потому нормы в этих пространствах обычно также удовлетворяют свойству субмультипликативности:
- для всех матриц A и B в .
Субмультипликативность может выполняться также и для норм неквадратных матриц, но определённых сразу для нескольких нужных размеров. Именно, если A — матрица ℓ × m, и B — матрица m × n, то A B — матрица ℓ × n.
Важным классом матричных норм являются операторные нормы, также именуемые подчинёнными или индуцированными. Операторная норма однозначно строится по двум нормам, определённым в и , исходя из того, что всякая матрица m × n представляется линейным оператором из в . Конкретно,
- [2]
При условии согласованного задания норм на пространствах векторов, такая норма является субмультипликативной (см. выше).
Существуют нормы матриц, не являющиеся операторными. Понятие неоператорных норм матриц ввел Ю. И. Любич
[3] и исследовал Г. Р. Белицкий.
Норма Lp,q
Пусть — вектор из столбцов матрицы Норма по определению равна сумме евклидовых норм столбцов матрицы:
Норма может быть обобщена до нормы
Векторная -норма
Можно рассматривать матрицу как вектор размера и использовать стандартные векторные нормы. Например, из нормы при получается векторная p-норма:
Эта норма отличается от индуцированной p-нормы и от p-нормы Шаттена (см. ниже), хотя используется одно и то же обозначение.
Норма Фробениуса (также фробениусова норма, реже: евклидова норма, соответствующая евклидову пространству матриц относительно фробениусова скалярного произведения, или сферическая норма) представляет собой частный случай p-нормы для p = 2:
.
Норма Фробениуса легко вычисляется (по сравнению, например, со спектральной нормой). Обладает следующими свойствами:
- Субмультипликативность: , так как .
- , где — след матрицы , — эрмитово-сопряжённая матрица.
- , где — сингулярные числа матрицы .
- , где — спектральная норма.
- не изменяется при умножении матрицы слева или справа на ортогональные (унитарные) матрицы[5].
Максимум модуля
Норма максимума модуля — другой частный случай p-нормы для p = ∞.
Норма Шаттена
Нормы Шаттена возникают при применении -нормы к вектору сингулярных значений матрицы. Если обозначить через -ое сингулярное число матрицы размера , то -норма Шаттена определяется как
Нормы Шаттена обозначаются так же, как индуцированная и векторная -нормы, но не совпадают с ними.
Для любого норма Шаттена субмультипликативна и унитарно инвариантна, то есть и для любых матриц и и любых унитарных матриц и .
При норма Шаттена совпадает с нормой Фробениуса, при — со спектральной нормой, а при — с ядерной нормой (известной также как следовая норма и -норма Ки Фана), которая определяется как
Ядерная норма является выпуклой оболочкой функции ранга на множестве матриц с единичной спектральной нормой, поэтому она часто используется в задачах оптимизации для нахождения матриц с малым рангом[6].
Матричные нормы часто используются при анализе вычислительных методов линейной алгебры. Например, программа решения систем линейных алгебраических уравнений может давать неточный результат, если матрица коэффициентов плохо обусловленная («почти вырожденная»). Для количественной характеристики близости к вырожденности нужно уметь измерять расстояние в пространстве матриц. Такую возможность дают матричные нормы[9].
Fazel, M., Hindi, H., Boyd, S. P.. A rank minimization heuristic with application to minimum order system approximation (англ.) // Proceedings of the 2001 American Control Conference. — 2001. — Vol. 6. — P. 4734—4739. — doi:10.1109/ACC.2001.945730.
- Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — ISBN 5-211-03814-2.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988.
- Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969.
- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.
- Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9.
- Белицкий Г. Р., Любич Ю. И. Нормы матриц и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1984. — 160 с.