Нормальный оператор

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: ${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}}$. Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: ${\displaystyle A=A^{*}}$ и унитарные операторы: ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$. Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Разложения

• Аддитивное разложение. ${\displaystyle N=X+iY}$, где ${\displaystyle X,Y}$ — перестановочные самосопряжённые операторы,

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}(N+N^{*}),\quad Y={\frac {1}{2i}}(N-N^{*}).}$

• Мультипликативное (полярное) разложение. ${\displaystyle N=RU=UR}$, где ${\displaystyle R={\sqrt {N^{*}N}}}$ — положительный самосопряжённый оператор, ${\displaystyle U}$ — унитарный оператор. Операторы ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle U}$ перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором, перестановочным одновременно с ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$.

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа ${\displaystyle z}$ через его действительную и мнимую части: ${\displaystyle z=x+iy}$, а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: ${\displaystyle z=re^{i\varphi }.}$^[1]

Свойства

• Если оператор ${\displaystyle N}$ нормален, то операторы ${\displaystyle N^{*}}$, ${\displaystyle \alpha N+\beta I,\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$, а также обратный оператор ${\displaystyle N^{-1}}$ (если он существует), тоже нормальны.^[2]
• Линейный непрерывный оператор ${\displaystyle N}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ нормален тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|}$ для каждого ${\displaystyle x\in H}$.
• ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,N={\mbox{Ker}}\,N^{*}={\mbox{Im}}\,N^{\perp }}$. Здесь ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,N}$ — ядро, ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,N}$ — образ оператора ${\displaystyle N}$.
• Если ${\displaystyle Nx=\alpha x}$ при некотором ${\displaystyle x\in H}$ и ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, то ${\displaystyle N^{*}x={\bar {\alpha }}x}$.
• Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны^[3].
• Теорема о перестановочности. Пусть ${\displaystyle M,N,T}$ — линейные непрерывные операторы, причем операторы ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ нормальны. Если ${\displaystyle MT=TN}$, то ${\displaystyle M^{*}T=TN^{*}}$. В частности, если оператор ${\displaystyle T}$ перестановочен с нормальным оператором ${\displaystyle N}$, то он перестановочен и с сопряжённым ${\displaystyle N^{*}}$.^[4]
• ${\displaystyle \|N\|=\sup\{|(Nx,x)|\colon x\in H,\,\|x\|\leq 1\}}$ ^[5]
• Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.^[6]
• Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если ${\displaystyle M=TNT^{-1}}$, где ${\displaystyle M,N}$ — нормальные операторы, а оператор ${\displaystyle T}$ обратим, то ${\displaystyle M=UNU^{-1}}$, где ${\displaystyle U}$ — унитарный оператор.^[7]
• ${\displaystyle \|N^{m}\|=\|N\|^{m}}$, следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.^[2]

Спектральная теорема

Основная статья: Спектральная теорема

Любому нормальному оператору ${\displaystyle N}$ соответствует семейство проекционных операторов ${\displaystyle \{E(\delta )\}}$, являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что ${\displaystyle N=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }zE(dxdy),\quad N^{*}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\bar {z}}E(dxdy),}$ и вообще ${\displaystyle q(N,N^{*})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }q(z,{\bar {z}})E(dxdy),}$ где ${\displaystyle q(z,{\bar {z}})}$ — произвольный многочлен от ${\displaystyle z=x+iy}$ и ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$; при любом фиксированном прямоугольнике ${\displaystyle \delta }$ оператор ${\displaystyle E(\delta )}$ является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$[8].

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

${\displaystyle f(N)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(z)E(dxdy).}$^[9]

Случай конечномерного пространства

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

• Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов.
• Для нормального оператора ${\displaystyle N}$ каждый из операторов ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$ представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора ${\displaystyle N}$.
• Если ${\displaystyle S}$ — инвариантное подпространство относительно оператора ${\displaystyle N}$, то его ортогональное дополнение ${\displaystyle S^{\perp }}$ тоже является инвариантным подпространством для ${\displaystyle N}$.
• Матрица ${\displaystyle N}$ является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть ${\displaystyle N=UDU^{-1},}$ где ${\displaystyle U}$ — унитарная матрица, ${\displaystyle D}$ — диагональная матрица.^[10]

Неограниченные операторы

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор ${\displaystyle N}$ (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ называется нормальным, если его область определения ${\displaystyle D(N)}$ плотна в ${\displaystyle H}$, он замкнут и удовлетворяет условию ${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}}$. Для нормального оператора ${\displaystyle D(N^{*})=D(N)}$, ${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|}$ для любого ${\displaystyle x\in D(N)}$. Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.^[11]

См. также

• Самосопряжённый оператор
• Унитарный оператор
• Спектральная теорема

Примечания

1. Рисс, Сёкефальви-Надь, 1979, п. 110.
2. Соболев, 1982.
3. Рудин, 1975, п.12.12.
4. Рудин, 1975, п.12.16.
5. Рудин, 1975, п.12.25.
6. Рудин, 1975, п.12.26.
7. Рудин, 1975, п.12.36.
8. Рисс, Сёкефальви-Надь, 1979, с. 309.
9. Рудин, 1975, п. 12.24.
10. Гантмахер, 1966, глава 9, § 10.
11. Рудин, 1975, глава 13.

Литература

• Соболев В. И. Нормальный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.