Remove ads
страница значений в проекте Викимедиа Из Википедии, свободной энциклопедии
Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор такой, что для любого из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение [1]. Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут , если оператор — положительный, и , если — положительный или нулевой[2].
Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым, и его спектр лежит на положительной полуоси , причём это необходимое и достаточное условие[1]. Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором[3][4].
Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.
У каждого ограниченного положительного оператора существует единственный положительный квадратный корень, то есть такой оператор , что . Если оператор обратим, то тоже обратим. Квадратный корень перестановочен с любым оператором, перестановочным с [7][8].
Любой ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве обладает разложением , где — положительный оператор, — частичная изометрия. Если — нормальный оператор, то оператор в полярном разложении унитарный.
На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: или , если оператор — положительный, иначе говоря, для любого из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.
Симметричный оператор называется полуограниченным снизу, если существует действительное число такое, что
для любого из области определения оператора ; наибольшее из всех значений , для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора . Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя грань[9].
Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор посредством одной из следующих формул:
где — единичный оператор[10].
Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора , причём оператор будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и [11].
Симметрический оператор (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве называется неотрицательным, если для любого . В этом случае квадратичная форма называется неотрицательной, а матрица оператора — неотрицательно определённой.
Симметрический оператор называется положительно определённым, если для любого вектора из . В этом случае квадратичная форма и матрица оператора называются положительно определёнными.
Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра[12].
Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля
где
если его рассматривать в пространстве , отнеся к области определения функции , дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям
где — некоторая постоянная; функции также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что
Если , то оператор положительный[11].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.