Положительный оператор (гильбертово пространство)

Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle (Ax,x)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle x}$ из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение ${\displaystyle A\geq 0}$^[1]. Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут ${\displaystyle A>0}$, если оператор ${\displaystyle A}$ — положительный, и ${\displaystyle A\geq 0}$, если ${\displaystyle A}$ — положительный или нулевой^[2].

Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым, и его спектр лежит на положительной полуоси ${\displaystyle [0,\infty )}$, причём это необходимое и достаточное условие^[1]. Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором^[3][4].

Свойства

Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.

• Если оператор ${\displaystyle A\geq 0}$ и вещественное число ${\displaystyle \alpha \geq 0}$, то ${\displaystyle \alpha A\geq 0}$.
• Если ${\displaystyle A\geq 0}$ и обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ существует, то ${\displaystyle A^{-1}\geq 0}$.
• ${\displaystyle A^{*}A\geq 0,\,AA^{*}\geq 0}$ для любого линейного оператора ${\displaystyle A}$. В частности, ${\displaystyle A^{2}\geq 0}$ для любого самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$. Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектирования^[2].
• Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный оператор^[5].
• Для положительного оператора ${\displaystyle A}$ и любых элементов ${\displaystyle x,y}$ гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца:

${\displaystyle |(Ax,y)|^{2}\leq (Ax,x)(Ay,y)}$^[6].

Квадратный корень

У каждого ограниченного положительного оператора ${\displaystyle A}$ существует единственный положительный квадратный корень, то есть такой оператор ${\displaystyle B}$, что ${\displaystyle B^{2}=A}$. Если оператор ${\displaystyle A}$ обратим, то ${\displaystyle B}$ тоже обратим. Квадратный корень ${\displaystyle B}$ перестановочен с любым оператором, перестановочным с ${\displaystyle A}$^[7][8].

Полярное разложение

Основная статья: Полярное разложение

Любой ограниченный линейный оператор ${\displaystyle T}$ в гильбертовом пространстве обладает разложением ${\displaystyle T=UP}$, где ${\displaystyle P}$ — положительный оператор, ${\displaystyle U}$ — частичная изометрия. Если ${\displaystyle T}$ — нормальный оператор, то оператор ${\displaystyle U}$ в полярном разложении унитарный.

Отношение порядка

На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: ${\displaystyle A\geq B}$ или ${\displaystyle B\leq A}$, если оператор ${\displaystyle A-B}$ — положительный, иначе говоря, ${\displaystyle (Ax,x)\geq (Bx,x)}$ для любого ${\displaystyle x}$ из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.

• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle C\geq D}$, то ${\displaystyle A+C\geq B+D}$.
• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle B\geq C}$, то ${\displaystyle A\geq C}$.
• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle cA\geq cB}$.
• Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору^[2][6].

Полуограниченный оператор

Симметричный оператор ${\displaystyle S}$ называется полуограниченным снизу, если существует действительное число ${\displaystyle c}$ такое, что

${\displaystyle (Sx,x)\geq c(x,x)}$

для любого ${\displaystyle x}$ из области определения оператора ${\displaystyle S}$; наибольшее из всех значений ${\displaystyle c}$, для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора ${\displaystyle S}$. Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя грань^[9].

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор ${\displaystyle P}$ посредством одной из следующих формул:

${\displaystyle S=P+cI,\quad S=-P+cI,}$

где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор^[10].

Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор ${\displaystyle S}$ (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$, причём оператор ${\displaystyle A}$ будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и ${\displaystyle S}$^[11].

Случай конечномерного пространства

Симметрический оператор ${\displaystyle S}$ (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве ${\displaystyle R}$ называется неотрицательным, если ${\displaystyle (Sx,x)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle x\in R}$. В этом случае квадратичная форма ${\displaystyle (Sx,x)}$ называется неотрицательной, а матрица оператора ${\displaystyle S}$ — неотрицательно определённой.

Симметрический оператор ${\displaystyle S}$ называется положительно определённым, если для любого вектора ${\displaystyle x\neq 0}$ из ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (Sx,x)>0}$. В этом случае квадратичная форма ${\displaystyle (Sx,x)}$ и матрица оператора ${\displaystyle S}$ называются положительно определёнными.

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра^[12].

Пример

Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля

${\displaystyle Au(x)=-(p(x)u'(x))'+q(x)u(x),}$

где

${\displaystyle p(x)\geq 0,\quad q(x)\geq q_{0},\quad (0\leq x\leq 1),}$

если его рассматривать в пространстве ${\displaystyle L_{2}(0,1)}$, отнеся к области определения функции ${\displaystyle u(x)}$, дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям

${\displaystyle u(0)=0,\quad u'(1)+hu(1)=0,}$

где ${\displaystyle h\geq 0}$ — некоторая постоянная; функции ${\displaystyle p(x),p'(x),q(x)}$ также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что

${\displaystyle (Au,u)=hp(1)|u(1)|^{2}+\int \limits _{0}^{1}p(x)|u'(x)|^{2}dx+\int \limits _{0}^{1}q(x)|u(x)|^{2}dx\geq \int \limits _{0}^{1}q_{0}|u(x)|^{2}dx=q_{0}(u,u).}$.

Если ${\displaystyle q_{0}\geq 0}$, то оператор положительный^[11].

См. также

• Эрмитов оператор
• Квадратичная форма

Примечания

1. Рудин У. Функциональный анализ, 1975, п.12.32.
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 317.
3. Шульман В. С., Ломоносов В. И. Положительный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
4. Строго говоря, в случае неограниченного оператора неравенство ${\displaystyle (Ax,x)\geq 0}$ в определении берётся для всех ${\displaystyle x}$ из области определения симметричного оператора ${\displaystyle A}$, которая плотна во всём гильбертовом пространстве.
5. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 318.
6. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, п. 104.
7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 320.
8. Рудин У. Функциональный анализ, 1975, п.12.33.
9. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 1966.
10. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, п. 122.
11. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, п. 124.
12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.

Литература

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 444 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1966. — 543 с.