Область определения функции

Область определения  — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

График функции f(x) = √x, область определения которой — все неотрицательные числа

Определение

Если на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция, которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в другое множество, то множество ${\displaystyle X}$ называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция ${\displaystyle f}$, которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, то есть: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, то множество ${\displaystyle X}$ называется областью определения^[1] или областью задания^[2] функции ${\displaystyle f}$ и обозначается ${\displaystyle D(f)}$ или ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f}$ (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве ${\displaystyle D}$ некоторого множества ${\displaystyle X}$. В этом случае множество ${\displaystyle X}$ называется областью отправления функции ${\displaystyle f}$^[3].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

• вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$;
• а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$,

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции ${\displaystyle f(x)=x}$ совпадает с областью отправления (${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$).

Гармоническая функция

Область определения функции ${\displaystyle f(x)=1/x}$ представляет собой комплексную плоскость без нуля:

${\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}$

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0}$.

Эти точки называются полюсами функции ${\displaystyle f}$.

Так, функция ${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}}$ определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где ${\displaystyle x^{2}-4\neq 0}$. Таким образом ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f}$ является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть ${\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}}$ — семейство отображений из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тогда можно определить отображение вида ${\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} }$. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку ${\displaystyle x_{0}\in ~X}$, то можно определить функцию ${\displaystyle F(f)=f(x_{0})}$, которая принимает в «точке» ${\displaystyle f}$ то же значение, что и сама функция ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

См. также

• Область значений функции