Область определения функции

Область определения  — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

График функции f(x) = √x, область определения которой — все неотрицательные числа

Определение

Если на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция, которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в другое множество, то множество ${\displaystyle X}$ называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция ${\displaystyle f}$, которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, то есть: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, то множество ${\displaystyle X}$ называется областью определения^[1] или областью задания^[2] функции ${\displaystyle f}$ и обозначается ${\displaystyle D(f)}$ или ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f}$ (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве ${\displaystyle D}$ некоторого множества ${\displaystyle X}$. В этом случае множество ${\displaystyle X}$ называется областью отправления функции ${\displaystyle f}$^[3].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

• вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$;
• а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$,

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции ${\displaystyle f(x)=x}$ совпадает с областью отправления (${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$).

Гармоническая функция

Область определения функции ${\displaystyle f(x)=1/x}$ представляет собой комплексную плоскость без нуля:

${\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}$

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0}$.

Эти точки называются полюсами функции ${\displaystyle f}$.

Так, функция ${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}}$ определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где ${\displaystyle x^{2}-4\neq 0}$. Таким образом ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f}$ является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть ${\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}}$ — семейство отображений из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тогда можно определить отображение вида ${\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} }$. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку ${\displaystyle x_{0}\in ~X}$, то можно определить функцию ${\displaystyle F(f)=f(x_{0})}$, которая принимает в «точке» ${\displaystyle f}$ то же значение, что и сама функция ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

См. также

• Область значений функции

Примечания

1. В. А. Садовничий. Теория операторов. — М.: Дрофа, 2001. — С. 10. — 381 с. — ISBN 5-71-074297-X.
2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.
3. В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 12—14. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.

Литература

• Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
• Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
• А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.