Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция ${\displaystyle U}$, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве ${\displaystyle D}$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

${\displaystyle \Delta U=0,\ }$

где ${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}}$ — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x_i (n = dim D — размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области ${\displaystyle D}$, достигает своего максимума и минимума только на границе ${\displaystyle \partial D}$. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в ${\displaystyle D}$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать ${\displaystyle \forall m\in D\inf _{Q\in D}U(Q)<U(m)<\sup _{Q\in D}U(Q)}$

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция ${\displaystyle u}$ гармонична в некотором шаре ${\displaystyle B(x_{0})}$ с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то её значение в точке ${\displaystyle x_{0}}$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

${\displaystyle u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\partial B)}}\int \limits _{\partial B}udS={\frac {1}{\mu (B)}}\int \limits _{B}udV}$

где ${\displaystyle \mu (B)}$ — объём шара ${\displaystyle B(x_{0})}$ и ${\displaystyle \mu (\partial B)}$ — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция ${\displaystyle U(M)=U(x_{1},...x_{k})}$, гармоническая в к-мерном шаре ${\displaystyle Q_{r}}$ радиуса ${\displaystyle R}$ с центром в некоторой точке ${\displaystyle M_{0}}$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках ${\displaystyle M}$ внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: ${\displaystyle {{R^{k-2}}{\frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})}\leq {U(M)}\leq {R^{k-2}{\frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})}}$, где ${\displaystyle r=\rho (M_{0},M)<R}$^[1].

Теорема Гарнака

Пусть ${\displaystyle v_{n}(z)}$ — положительные гармонические функции в некоторой области ${\displaystyle D}$. Если ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)}$ сходится хотя бы в одной точке области ${\displaystyle D}$, то он равномерно сходится внутри ${\displaystyle D}$.

Гармонические функции на комплексной плоскости

На комплексной плоскости гармонические функции ${\displaystyle h:\mathbb {C} \to \mathbb {R} }$ тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ если ${\displaystyle f}$ это голоморфная функция на ${\displaystyle D}$, то ${\displaystyle h=\operatorname {Re} (f)}$ является гармонической функцией над ${\displaystyle D}$.

Выполняется также и обратное утверждение. Если ${\displaystyle h}$ является гармонической функцией над односвязной областью ${\displaystyle D}$, то ${\displaystyle h=\operatorname {Re} (f)}$ для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над ${\displaystyle D}$ функции ${\displaystyle f}$.

См. также

• Оператор Лапласа
• Задача Дирихле
• Голоморфная функция
• Субгармоническая функция
• Плюригармоническая функция

Примечания

1. А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 448 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 749 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 432 с.
• Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 480 с.
• Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 463 с.
• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — 388 с.
• Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.