Ограниченный оператор

Оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ называется ограниченным, если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства ${\displaystyle X}$ он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства ${\displaystyle Y}$.^[1]

Приведённое выше определение относится как к линейным, так и к нелинейным операторам.

Линейный ограниченный оператор

Определения

Для линейного оператора часто приводят другие определения:^[1]

• Будем называть линейный оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ ограниченным, если существует такая окрестность нуля ${\displaystyle U}$, что ${\displaystyle A(U)}$ является ограниченным множеством в ${\displaystyle Y}$.
• Будем называть линейный оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число ${\displaystyle C}$, что ${\displaystyle \|Ax\|\leq C\|x\|}$. Наименьшее из таких чисел ${\displaystyle C}$ обозначают через ${\displaystyle \|A\|}$ и называют нормой оператора ${\displaystyle A}$. Иными словами,

${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}$

Свойства в F-пространствах

Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха.

• Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным.^[2]
• Обратно (Теорема Банаха), всякий непрерывный оператор является ограниченным.^[1][2]

Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор.

Литература

1. Математическая энциклопедия / Виноградов И.М.. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 3.
2. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1. Общая теория. — С. 66-67.