Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определённым^[1][2] эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.

Определение

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {L} }$ над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,} удовлетворяющая дополнительному условию^[3]:

• ${\displaystyle (\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},}$ где ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности.

Другими словами, это означает, что функция ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,} удовлетворяющая следующим условиям^[3]:

• 1) линейность скалярного произведения по первому аргументу:

${\displaystyle \forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L} }$ и ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ справедливы равенства:

${\displaystyle \langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1},\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle$ ;}

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия ${\displaystyle (\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ они равносильны)

• 2) эрмитовость скалярного произведения:

${\displaystyle \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} }$ справедливо равенство ${\displaystyle \mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$ ;}

• 3) положительная определённость скалярного произведения:

${\displaystyle (\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} } }$ и ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,}$ причём ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0}$ только при ${\displaystyle \mathbf {x=0} .}$

Свойства

• Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {R} } .
• Полуторалинейная форма ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ является эрмитовой тогда и только тогда^[3], когда для всех векторов ${\displaystyle x\in \mathbb {L} }$ функция ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }$ принимает только вещественные значения.

Отличия от евклидова пространства

Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:^[4]

1. ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );}$
2. неравенство Коши — Буняковского: ${\displaystyle \left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)}$ ;}
3. понятие угла не имеет содержательного смысла;
4. Матрица Грама ${\displaystyle \Gamma (f)=f^{T}f}$ системы векторов ${\displaystyle f}$ является эрмитовой ${\displaystyle \Gamma =\Gamma ^{*}.}$

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.