Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица ${\displaystyle E_{n}=(e_{ij})}$ размера (порядка) ${\displaystyle n}$, элементы главной диагонали которой равны единице поля (${\displaystyle e_{ii}=1}$), а остальные равны нулю (${\displaystyle e_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i\neq j}$)^[1].

Единичную матрицу можно также определить как матрицу ${\displaystyle (e_{ij})}$, у которой ${\displaystyle e_{ij}=\delta _{ij}}$, где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера^[1].

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице^[1]: ${\displaystyle AE=EA=A}$. Квадратная матрица в нулевой степени даёт единичную матрицу того же размера^[1]: ${\displaystyle A^{0}=E}$. При умножении матрицы на обратную ей, тоже получается единичная матрица^[2]: ${\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}$. Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу^[3]: ${\displaystyle AA^{T}=E}$. Определитель единичной матрицы равен единице: ${\displaystyle \mathrm {det} \,E=1}$.

Единичные матрицы первых трёх порядков:

${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Примечания

1. Гантмахер, 1966, с. 24.
2. Гантмахер, 1966, с. 27.
3. Гантмахер, 1966, с. 238.

Литература

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.