Правильная карта (теория графов)

Правильная карта — это симметричное замощение замкнутой поверхности. Более точно, правильная карта — это разложение^[англ.] двумерного многообразия (такого как сфера, тор или вещественная проективная плоскость) на топологические диски, так что каждый флаг (инцидентная тройка вершина-ребро-грань) может быть переведён в любой другой флаг преобразованием симметрии разложения. Правильные карты являются в некотором смысле топологическим обобщением правильных многогранников. Теория карт и их классификация связана с теориями римановых поверхностей, геометрии Лобачевского и теории Галуа. Правильные карты классифицируются по их роду ориентируемости соответствующей поверхности, по основному графу или автоморфизму группы.

Шестиугольный осоэдр, правильная карта на сфере с двумя вершинами, шестью рёбрами, шестью гранями и 24 флагами.

Обзор

Правильные карты обычно определяются и изучаются тремя способами: топологически, с точки зрения теории групп и теории графов.

Топологический подход

С точки зрения топологии карта является 2-ячейным разложением замкнутого компактного 2-многообразия.

Род g карты M задаётся соотношением Эйлера ${\displaystyle \chi (M)=|V|-|E|+|F|}$, что равно ${\displaystyle 2-2g}$, если карта ориентируема, и ${\displaystyle 2-g}$, если карта неориентируема. Критическим обстоятельством является факт, что имеется конечное (ненулевое) число правильных карт для любого ориентируемого рода, за исключением тора.

Подход теории групп

С точки зрения теории групп перестановки представления правильной карты M являются транзитивной группой перестановок C на множестве ${\displaystyle \Omega }$ флагов, порождённой свободными инволюциями с тремя фиксированными точками ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2}}$, удовлетворяющими условию ${\displaystyle (r_{0}r_{2})^{2}=I}$. В этом определении гранями являются орбиты ${\displaystyle F=\langle r_{0},r_{1}\rangle }$, рёбрами являются орбиты ${\displaystyle E=\langle r_{0},r_{2}\rangle }$, а вершинами являются орбиты ${\displaystyle V=\langle r_{1},r_{2}\rangle }$. Более абстрактно, автоморфизм группы любой правильной карты является невырожденным гомоморфным образом группы треугольника <2,m,n>.

Подход теории графов

С точки зрения теории графов карта есть кубический граф ${\displaystyle \Gamma }$ с рёбрами, выкрашенными в синий, жёлтый и красный цвета так, что ${\displaystyle \Gamma }$ связен, каждая вершина инцидентна с рёбрами каждого цвета, а циклы рёбер, не окрашенных в жёлтый цвет, имеют длину 4. Заметим, что ${\displaystyle \Gamma }$ является плоским графом или закодированной графом картой^[англ.] (англ. graph-encoded map, GEM) карты, определёнными на множестве флагов в качестве вершин ${\displaystyle \Omega }$ и не являющимися остовом G=(V,E) карты. В общем случае ${\displaystyle |\Omega |=4|E|}$.

Карта M правильна тогда и только тогда, когда Aut(M) действует регулярно на флаги. Aut(M) правильной карты транзитивна на вершинах, рёбрах и гранях карты M. Говорят, что карта M зеркально симметрична в том и только в том случае, когда Aut(M) правильна и содержит автоморфизм ${\displaystyle \phi }$, который фиксирует как вершиныv, так и грани f, но обращает направление рёбер. Говорят, что правильная карта, не являющаяся зеркально симметричной, хиральна.

Примеры

Полукуб, правильная карта.

• Большой додекаэдр является правильной картой с пятиугольными гранями на ориентируемой поверхности рода 4.
• Полукуб^[англ.] является правильной картой типа {4,3} на проективной плоскости.
• Полудодекаэдр является правильной картой, порождённой пятиугольным вложением графа Петерсена в проективную плоскость.
• p-Осоэдр является правильной картой типа {2,p}. Заметим, что осоэдры в этом смысле не являются абстрактными многогранниками. В частности, они не удовлетворяют свойству алмаза (англ. diamond property).
• Карта Дика является правильной картой из 12 октаэдров на поверхности рода 3. Лежащий в её основе граф Дика, может также образовать правильную карту из 16 шестиугольников на торе.

В таблице ниже приведён полный список правильных карт на поверхностях с положительной эйлеровой характеристикой, χ — сфере и проективной плоскости^[1].

χ	g	Шлефли	Вершин	Рёбер	Граней	Группа	Порядок	Граф		Примечания
2	0	{p,2}	p	p	2	C2 × Dihp	4p	Cp		Диэдр
2	0	{2,p}	2	p	p	C2 × Dihp	4p	p-кратный K2		Осоэдр
2	0	{3,3}	4	6	4	S4	24	K4		Тетраэдр
2	0	{4,3}	8	12	6	C2 × S4	48	K4 × K2		Куб
2	0	{3,4}	6	12	8	C2 × S4	48	K2,2,2		Октаэдр
2	0	{5,3}	20	30	12	C2 × A5	120			Додекаэдр
2	0	{3,5}	12	30	20	C2 × A5	120	K6 × K2		Икосаэдр
1	n1	{2p,2}/2	p	p	1	Dih2p	4p	Cp		Полудиэдр[2]
1	n1	{2,2p}/2	2	p	p	Dih2p	4p	p-кратный K2		Полуосоэдр[2]
1	n1	{4,3}/2	4	6	3	S4	24	K4		Полукуб[англ.]
1	n1	{3,4}/2	3	6	4	S4	24	2-кратный K3		Полуоктаэдр[англ.]
1	n1	{5,3}/2	10	15	6	A5	60	Граф Петерсена		Полудодекаэдр
1	n1	{3,5}/2	6	15	10	A5	60	K6		Полуикосаэдр

Изображения ниже показывают три из 20 правильных карт в тройном торе^[англ.] с их символами Шлефли.

• 
  {6,4}
• 
  {4,8}
• 
  {8,4}

Тороидальные многогранники

Примеры в виде мозаики

{4,4}1,0 (v:1, e:2, f:1)	{4,4}1,1 (v:2, e:4, f:2)	{4,4}2,0 (v:4, e:8, f:4)	{4,4}2,1 (v:5, e:10, f:5)	{4,4}2,2 (v:8, e:16, f:8)
{3,6}1,0 (v:1, e:3, f:2)	{3,6}1,1 (v:3, e:9, f:6)	{3,6}2,0 (v:4, e:8, f:8)	{3,6}2,1 (v:7, e:21, f:14)	{3,6}2,2 (v:12, e:36, f:24)
{6,3}1,0 (v:2, e:3, f:1)	{6,3}1,1 (v:6, e:9, f:3)	{6,3}2,0 (v:8, e:8, f:4)	{6,3}2,1 (v:14, e:21, f:7)	{6,3}2,2 (v:24, e:36, f:12)

Правильные карты существуют как тороидальные многогранники в виде конечных порций евклидовых мозаик, завёрнутых в поверхность дуоцилиндра^[англ.] как плоского тора. Они помечены как {4,4}_b,c, когда они связаны с квадратной мозаикой {4,4}^[3], как ${\displaystyle \{3,6\}_{b,c}}$, когда они связаны с треугольной мозаикой {3,6}, и как {6,3}_b,c, когда связаны с шестиугольной мозаикой {6,3}. Индексы b и c являются целыми числами ^[4]. Имеется 2 специальных случая (b,0) и (b,b) с зеркальной симметрией, хотя общие случаи существуют в хиральных парах (b,c) и (c,b).

Правильные карты вида {4,4}_m,0 могут быть представлены как конечные правильные косые многогранники {4,4|m}, понимаемые как квадратные грани m×m дуопризмы в размерности 4.

Ниже приведён пример {4,4}_8,0, отображённый из плоского листа в виде шахматной доски в цилиндр, а затем в тор. Проекция из цилиндра в тор искажает геометрию в трёхмерном пространстве, но может быть осуществлена без искажения в четырёхмерном.

Например, карту {6,4}₃ можно рассматривать как {6,4}_4,0.

Правильные карты с нулевой эйлеровой характеристикой^[5]

χ	g	Шлефли	Вершин	Рёбер	Граней	Группа	Порядок	Примечания
0	1	{4,4}b,0 n=b2	n	2n	n	[4,4](b,0)	8n	Плоский тороидальный многогранник То же, что и {4,4 | b}
0	1	{4,4}b,b n=2b2	n	2n	n	[4,4](b,b)	8n	Плоский тороидальный многогранник То же, что и полноусечённый {4,4 | b}
0	1	{4,4}b,c n=b2+c2	n	2n	n	[4,4]+ (b,c)	4n	Плоский хиральный тороидальный многогранник
0	1	{3,6}b,0 t=b2	t	3t	2t	[3,6](b,0)	12t	Плоский тороидальный многогранник
0	1	{3,6}b,b t=2b2	t	3t	2t	[3,6](b,b)	12t	Плоский тороидальный многогранник
0	1	{3,6}b,c t=b2+bc+c2	t	3t	2t	[3,6]+ (b,c)	6t	Плоский хиральный тороидальный многогранник
0	1	{6,3}b,0 t=b2	2t	3t	t	[3,6](b,0)	12t	Плоский тороидальный многогранник
0	1	{6,3}b,b t=2b2	2t	3t	t	[3,6](b,b)	12t	Плоский тороидальный многогранник
0	1	{6,3}b,c t=b2+bc+c2	2t	3t	t	[3,6]+ (b,c)	6t	Плоский хиральный тороидальный многогранник

В общем случае правильный тороидальный многогранник {p,q}_b,c можно определить, если p или q чётные, хотя только один евклидов выше может существовать как тороидальный многогранник в размерности 4. В случае {2p,q} пути (b,c) можно определить как грань-ребро-грань на прямой, в то время как в двойственных {p,2q} формах пути (b,c) можно рассматривать как вершина-ребро-вершина.

См. также

• Топологическая теория графов
• Абстрактный многогранник
• Планарный граф
• Тороидальный граф
• Вложение графа
• Правильная мозаика
• Правильный многогранник

Примечания

1. Coxeter, Moser, 1980.
2. Carlo Séquin. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps  (неопр.). Berkeley University. Дата обращения: 5 марта 2020. Архивировано 23 сентября 2015 года.
3. Coxeter, Moser, 1980, с. 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.
4. Coxeter, Moser, 1980, с. 8.4 Maps of type {3,6} on a torus.
5. Coxeter, Moser, 1980, с. Chapter 8, Regular maps, 8.3 Maps of type {4,4} on a torus, 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.

Литература

• Coxeter H. S. M., Moser W. O. J. . — 4th. — Springer Verlag, 1980. — Т. 14. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). — ISBN 978-0-387-09212-6. Перевод:
  • Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж. Мозер. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп / Перевод В.А. Чуркина, под редакцией Ю.И. Мерзлякова.. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1980.
• Jack van Wijk. Symmetric tiling of closed surfaces: visualization of regular maps // Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics). — 2009. — Т. 28, вып. 3. — С. 12. — doi:10.1145/1531326.1531355. Архивировано 9 июня 2011 года.
• Marston Conder, Peter Dobcsányi. Determination of all regular maps of small genus // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 2001. — Т. 81, вып. 2. — С. 224—242. — doi:10.1006/jctb.2000.2008.
• Roman Nedela. Maps, Hypermaps, and Related Topics. — 2007.
• Andrew Vince. Maps // Handbook of Graph Theory. — 2004.
• Ulrich Brehm, Egon Schulte. Polyhedral Maps // Handbook of Discrete and Computational Geometry. — 2004.