Род поверхности

Род поверхности — топологическая характеристика замкнутой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$. Определяется как максимальное число замкнутых непересекающихся кривых не разделяющих поверхность на части.

Поверхность рода 0

Поверхность рода 1

Поверхность рода 2

Поверхность рода 3

Примеры

• Сфера имеет род 0.
• Тор имеет род 1.
• Проективная плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$ имеет род 1.

Свойства

Ориентируемые поверхности

• Для ориентируемых поверхностей род равен числу ручек.

Эквивалентно, ${\displaystyle \Sigma }$ имеет род ${\displaystyle g}$, если ${\displaystyle \Sigma }$ гомеоморфна связной сумме сферы (${\displaystyle S^{2}}$) и ${\displaystyle g}$ торов ${\displaystyle T^{2}}$:

${\displaystyle \Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {T^{2}\#\ldots \#T^{2}} _{g})}$.

• Род ${\displaystyle g}$ ориентированной поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику ${\displaystyle \chi (\Sigma )}$:

  ${\displaystyle g={\frac {2-\chi (\Sigma )}{2}}}$.

• Род поверхности ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}}$, являющейся замыканием множества нулей ${\displaystyle \{P(x,\;y)=0\}}$ многочлена ${\displaystyle P(x,\;y)}$ степени ${\displaystyle d}$ общего положения, выражается через его степень как:

  ${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}.}$

• Род гиперэллиптической поверхности ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}}$, являющейся замыканием множества:

  ${\displaystyle \{(x,\;y)\mid y^{2}=P(x)\}}$.

Для свободного от квадратов многочлена ${\displaystyle P(x)}$ степени ${\displaystyle d}$, выражается через его степень как:

${\displaystyle g=\left\lceil {\frac {d-1}{2}}\right\rceil }$.

Неориентируемые поверхности

• Для неориентируемых поверхностей род равен числу вклеенных в неё лент Мёбиуса

Эквивалентно, ${\displaystyle \Sigma }$ имеет род ${\displaystyle g}$, если ${\displaystyle \Sigma }$ гомеоморфна связной сумме сферы (${\displaystyle S^{2}}$) и ${\displaystyle g}$ проективных плоскостей ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$:

${\displaystyle \Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\dots \#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} _{g})}$.

• Род ${\displaystyle g}$ неориентируемой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику ${\displaystyle \chi (\Sigma )}$:

  ${\displaystyle g=2-\chi (\Sigma )}$.

См. также

• Род многообразия